Question

Dada a questão... está na imagem em anexo.

Answer 1

A equação matricial $MX = P$ tem solução única dada por:

$X = M^{-1}P,$

onde $M^{-1}$ representa a matriz inversa de $M$. Portanto, a matriz $M$ deve ser não-singular, ou seja:

$\det M \neq 0.$

Temos então:

$\displaystyle\det M = \det \begin{bmatrix}K^3 & 2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = K^3 \times 1 - 2 \times (-4) = K^3 + 8.$

Portanto, a condição de unicidade da solução é:

$\det M \neq 0 \iff K^3 + 8 \neq 0 \iff K^3 \neq -8 \iff K \neq \sqrt[3]{-8} \iff K \neq -2.$

Resposta: $\boxed{K \neq -2}.$

De facto, se $K = -2$, a equação matricial toma a forma:

$MX = P \iff \begin{bmatrix}-8 & 2 \\ -4 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 \\1\end{bmatrix} \iff \begin{cases}-8x + 2y = 1 \\ -4x + y = 1\end{cases}.$

Multiplicando a 2.ª equação por $2$, obtemos:

$\begin{cases}-8x + 2y = 1 \\ -8x + 2y = 2\end{cases}.$

É agora claro que é impossível a quantidade $-8x + 2y$ ser simultaneamente igual a $1$ e $2$, pelo que o sistema é impossível.

Por outro lado, se $K \neq -2$, vem $\det M = K^3 + 8 \neq 0$, donde a inversa de $M$ é dada por:

$M^{-1} = \begin{bmatrix}K^3 & 2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{\det M}\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 4 & K^3 \end{bmatrix} = \dfrac{1}{K^3+8}\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 4 & K^3 \end{bmatrix}.$

Assim, a solução é:

$X = M^{-1}P = \dfrac{1}{K^3+8}\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 4 & K^3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix} = \dfrac{1}{K^3+8}\begin{bmatrix}1-2 \\ 4 + K^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-\frac{1}{K^3 + 8} \\\\ \frac{4 + K^3}{K^3 + 8} \end{bmatrix},$

que é de facto única para cada $K \neq -2$.