Question

Dada a progressão aritmética (3,7,11,15,19,...), podemos afirmar que a soma do 21º termo ao 51º termo dessa sequência é igual a:

Answer 1

o vigésimo primeiro termo é o número 43, e o quinquagésimo primeiro é o número 103. Sendo assim a soma do 21º termo com o 51º é 146.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Suellen, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Dada a progressão (3; 7; 11; 15; 19; ......) pede-se a soma do 21º termo (a₂₁) até o 51º termo (a₅₁).

ii) Veja que a PA dada tem o primeiro termo (a₁) igual a "3" e tem razão (r) igual a "4", pois a diferença entre cada termo da PA acima tem 4 unidades de diferença (note que 19-15 = 4; 15-11 = 4; 11-7 = 4; e 7-3 = 4).

iii) Como queremos a soma do 21º termo (a₂₁) até o 51º termo (a₅₁), então vamos encontrar quais são eles dois, utilizando, para isso, a fórmula do termo geral de uma PA, que é dada assim:

an = a₁ + (n-1)*r

iii.1) Encontrando o 21º termo (a₂₁):
Utilizando a fórmula do termo geral, temos:

an = a₁ + (n-1)*r ----- fazendo as devidas substituições para encontrar o 21º termo, teremos:

a₂₁ = 3 + (21-1)*4
a₂₁ = 3 + (20)*4
a₂₁ = 3 + 80
a₂₁ = 83 <--- Este é o valor do 21º termo.

iii.2) Encontrando o 51º termo (a₅₁):
Aplicando a fórmula:

an = a₁ + (n-1)*r:

a₅₁ = 3 + (51-1)*4
a₅₁ = 3 + (50)*4
a₅₁ = 3 + 200
a₅₁ = 203 <--- Este é o valor do 51º termo.

iv) Agora vamos encontrar quantos termos há entre o 21º termo ao 51º termo. Para isso, utilizamos novamente a fórmula do termo geral, colocando como o 1º termo o 21º termo (a₂₁) e o último termo como o a₅₁. Assim, teremos:

a₅₁ = a₂₁ + (n-1)*4 ---- substituindo-se "a₅₁" por "203" e "a₂₁" por 83, teremos:
203 = 83 + (n-1)*4
203 = 83 + 4*n - 1*4
203 = 83 + 4n - 4 --- ou, ordenando, temos:
203 = 83 - 4 + 4n ------
203 = 79 + 4n ---- passando "79" para o 1º membro, temos;
203 - 79 = 4n
124 = 4n ---- ou, invertendo-se:
4n = 124
n = 124/4
n = 31 <--- Este é o número de termos que há entre o a₂₁ e o a₅₁.

v) Agora vamos para soma dos termos do 21º termo ao 51º termo.
Veja que a fórmula dos termos de uma PA é dada da seguinte forma:

Sn = (a₁+an)*n/2 ---- no caso, como queremos a soma do a₂₁ ao a₅₁, substituiremos cada termo pelo seu valor, ficando:

Sn = (83 + 203)*n/2

Agora veja: como já vimos que há 31 termos entre o a₂₁ e o a₅₁, então substituiremos "n" por "31". Assim, ficaremos com:

S₃₁ = (83+203)*31/2
S₃₁ = (286)*31/2 --- ou apenas:
S₃₁ = 286*31/2 ---- como 286*31 = 8.866, teremos:
S₃₁ = 8.866/2 ---- note que esta divisão dá "4.433". Assim:
S₃₁ = 4.433 <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a soma pedida do 21º termo até o 51º termo da PA da sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.