Question

dada a progressão aritmética (2,5,8.,11, ..). Então a soma dos termos da Progressão aritmética desde o vigésimo primeiro até o quadragésimo primeiro termo,inclusive, é igual a?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Daiane, que a resolução é simples.
Pede-se a soma dos termos da seguinte PA, desde o 21º termo (a₂₁) até o 41º termo (a₄₁), inclusive.
A PA de que se fala é esta:

(2; 5; 8; 11; ......)

Note que temos aí em cima uma PA cujo primeiro termo (a₁) é igual a "2" e cuja razão (r) é igual a "3", pois 11-8 = 8-5 = 5-2 = 3.

Como está sendo pedida a soma do 21º termo até o 41º termo, então vamos encontrar quais são esses dois termos (o 21º e o 41º) pela fórmula do termo geral de uma PA, que é dada assim:

an = a₁ + (n-1)*r

Assim, para encontramos o 21º e o 41º, faremos o seguinte:

i) Encontrando o 21º termo pela fórmula do termo geral teremos:

an = a₁ + (n-1)*r ----- fazendo as devidas substituições para encontrar o 21º termo, teremos:

a₂₁ = 2 + (21-1)*3:
a₂₁ = 2 + (20)*3 ---- ou apenas:
a₂₁ = 2 + 20*3
a₂₁ = 2 + 60
a₂₁ = 62 <---- Este é o valor do 21º termo.

ii) Encontrando o 41º termo pela fórmula do termo geral, teremos:

an = a₁ + (n-1)*r ---- fazendo as devidas substituições para encontrar o 41º termo, teremos:

a₄₁ = 2 + (41-1)*3
a₄₁ = 2 + (40)*3
a₄₁ = 2 + 40*3
a₄₁ = 2 + 120
a₄₁ = 122 <---- Este é o valor do 41º termo.

iii) Agora vamos para a fórmula que dá a soma dos "n" primeiros termos de uma PA, que é esta:

Sn = (a₁ + an)*n/2

Agora note isto que é importante: quando você tem dois números extremos e que esses extremos entram na conta de um determinado intervalo, então basta você encontrar a subtração entre eles e somar uma unidade ao resultado encontrado.
Então se você subtrair o 21º termo do 41º termo, iríamos ter, inicialmente, isto:
41 - 21 = 20.  Mas considerando que tanto o 21º e o 41º termos entram na conta, então somaremos mais uma unidade à diferença encontrada, ficando, portanto: 20+1 = 21. Assim, do 21º termo até o 41º termo há 21 termos.
Assim, vamos utilizar a fórmula dos "n" primeiros termos de uma PA que já vimos aí em cima e que é esta:

Sn = (a₁+an)*n/2

Na fórmula acima "Sn" é a soma dos 21 termos (que vai do 21º ao 41º termos, inclusive). Assim, substituiremos "Sn" por "S₂₁". Por sua vez, substituiremos "a₁" pelo primeiro termo da soma, que vai ser o "a₂₁" e que já vimos que é igual a "62". Por seu turno, substituiremos "an" pelo último termo (a₄₁), que é igual a 122. E, finalmente, substituiremos "n" por "21", que   é o número de termos existente entre o 21º e o 41º termos. Assim:

S₂₁ = (62+122)*21/2
S₂₁ = (184)*21/2 ---- ou apenas:
S₂₁ = 184*21/2
S₂₁ = 3.864/2
S₂₁ = 1.932 <--- Pronto. Esta é a resposta. Esta é a soma pedida.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.