Matemática, perguntado por luizfelipe6688, 5 meses atrás

Dada a PG (-2^11, 2^10, -2^9, ...) o produto dos 19 primeiros termos é igual a:

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

⠀⠀O produto dos 19 primeiros termos dessa Progressão Geométrica é igual a $2^{38}$ .

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Considerações

⠀⠀Uma P.G. é uma sucessão de números onde multiplicando o valor constante, que denominamos de razão, por qualquer termo a partir do segundo gera o termo consecutivo. Em virtude disso, ao dividirmos um termo pelo anterior descobrimos o valor dessa razão.

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Voltando a questão

⠀⠀Dado a progressão abaixo, desejamos calcular o produto dos 19 primeiros termos:

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$\LARGE\boldsymbol{\begin{array}{l}(-\,2^{11},~2^{10},\,-\,2^{9},~\dots)\end{array}}$

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⠀⠀Para esse feito, podemos utilizar a fórmula do produto dos termos de uma P.G. finita, que é dada por:

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$\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}P_n=a_1^n\cdot q^{\frac{n\,\cdot\,(n-1)}{2}}\end{array}}$

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⠀⠀Sendo $P_n$ : produto dos ‘‘n’’ termos, $a_1$ : primeiro termo, $q$ : razão e $n$ : quantidade de termos. Na P.G. proposta temos que $-\,2^{11}$ é o primeiro termo e 19 é a quantidade de termos, já que queremos calcular o produto dos primeiros dezenove. Lembrando que, com base no supradito o valor constante pode ser obtido calculando a razão entre dois termos consecutivos, então:

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$\Large\begin{array}{c}q=\dfrac{a_2}{a_1}\\\\q=\dfrac{2^{10}}{-\,2^{11}~~}\\\\q=-\,(2^{10\,-\,11})\\\\q=-\,2^{-\,1}\end{array}$

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⠀⠀Prosseguindo para o cálculo:

obs.: usaremos bastante propriedades da potenciação: conservando a base e somando os expoentes num produto de potências de mesma base; e multiplicando os expoentes numa potência de potência. Então fique ligado!

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$\Large\begin{array}{c}P_n=a_1^n\cdot q^{\frac{n\,\cdot\,(n-1)}{2}}\\\\P_{19}=(-\,2^{11})^{19}\cdot\big(\!\!-2^{-\,1}\big)^{\frac{19\,\cdot\,(19-1)}{2}}\\\\P_{19}=2^{11\,\cdot\,19}\cdot\big(2^{-\,1}\big)^{\frac{19\,\cdot\,18}{2}}\\\\P_{19}=2^{209}\cdot\big(2^{-\,1}\big)^{19\,\cdot\,9}\\\\P_{19}=2^{209}\cdot\big(2^{-\,1}\big)^{171}\\\\P_{19}=2^{209}\cdot2^{-\,1\,\cdot\,171}\\\\P_{19}=2^{209}\cdot2^{-\,171}\\\\P_{19}=2^{209\,-\,171}\\\\\!\boxed{P_{19}=2^{38}}\end{array}$

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⠀⠀Conclui-se, portanto, que o produto dos 19 termos iniciais é igual à $2^{38}$ .

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$