Question

Dada a PA crescente (x+2, 2x , 5x-14), determine o trigésimo primeiro termo desta PA

Answer 1

Olá, tudo bem? Sendo uma progressão aritmética, então a razão(r) pode ser calculada de duas formas:

r: 2x - (x + 2)→ 2x - x - 2 → r = x - 2
ou
r: (5x - 14) - 2x → 5x - 14 - 2x → r = 3x - 14

Como a razão(r) é constante, então r = r, ou seja:

x - 2  =  3x - 14 → -2 + 14 = 3x - x → 2x = 12 → x = 6

Vamos substituir o valor de x = 6, na sequência e obter a PA:

PA(x + 2;  2x;  5x - 14) ou (6 + 2;  2.6;  5 . 6 - 14) ou PA(8;  12;  16)

Essa PA, tem seu primeiro termo, a1 = 8,  a razão r = 4. Com esses dados, basta substitui-los na fórmula do termo geral(an), com n=31; assim:

$a_{n}=a_{1}+(n-1).r\to a_{31}=8+(31-1).4\to \\\\ a_{31}=8+120\to \boxed{a_{31}=128}\,\,\text{(resposta final)}$

É isso!! :-)

Answer 2

a1 = x + 2
a2 = 2x
a3 = 5x - 14

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a2 - a1 = a3 - a2

(2x) - (x + 2) = (5x - 14) - (2x)
2x - x - 2 = 5x - 14 - 2x
x - 2 = 3x - 14
x - 3x = -14 + 2
-2x = -12 . (-1)
2x = 12
x = 12 / 2
x = 6

Razão da PA  = 6

Substituir no termos dados

a1 = x + 2
a1 = 6 + 2
a1 = 8

a2 = 2x
a2 = 2.6
a2 = 12

a3 = 5x - 14
a3 = 5.6 - 14
a3 = 30 - 14
a3 = 16

PA = (8, 12, 16)

===
Encontrar o valor do termo a31

an =   a1 + ( n -1 ) . r
a31 =  8 + ( 31 -1 ) . 4
a31 =  8 + 30 . 4
a31 =  8 + 120
a31 =  128