Question

Dada a PA (a1, a2, a3,...) de razão r = 30 e a1 = 30, e a PG (b1, b2, b3,...) de razão q = 2 e b1 = 1, classifique em verdadeiro ou falso cada um dos itens a seguir, justificando com cálculos sua resposta.
a) ( ) a10 > b10
b) ( ) A soma dos 10 primeiros termos da PA é maior que a soma dos 10 primeiros termos da PG.​​

Answer 1

Resposta:

a) ( F )

b) ( V )

Explicação passo-a-passo:

Progressão Aritmética

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica que segue a lógica a seguir: um elemento é igual ao anterior somado com uma constante real.

=> Dada a PA (a1, a2, a3,...) de razão r = 30 e primeiro termo a1 = 30

---> Para encontrar os termos da PA usamos a fórmula da razão r = a2 - a1

a2 = r + a1 = 30 + 30 = 60

a3 = r + a2 = 30 + 60 = 90

a4 = r + a3 = 30 + 90 = 120

a5 = r + a4 = 30 + 120 = 150

a6 = r + a5 = 30 + 150 = 180

a7 = r + a6 = 30 + 180 = 210

a8 = r + a7 = 30 +210 = 240

a9 = r + a8 = 240 + 30 = 270

a10 = r + a9 = 30 + 270 = 300

---> Montagem dos 10 termos da  PA.

PA (30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300)

---> A soma dos termos de uma PA é dada pela multiplicação da metade do seu número de termos pela soma do primeiro com o último termo

---> Fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma PA.

Sn = n(a1 + an) /2

a1 = primeiro termo = 30

n = número de termos = 10

Sn = soma dos termos = ?

an = último termo = 300

---> Cálculo da soma dos termos da PA

Sn = n(a1 + an) /2

S10 = 10.(30 + 300)/2

S10 = 10.330/2

S10 = 3300/2

S10 = 1650

Progressão Geométrica

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que a divisão de um elemento pelo elemento imediatamente anterior resulta sempre em um mesmo valor, chamado de razão.

Progressão geométrica, finita é uma PG que tem um número determinado de elementos.

=> Dada a PG (b1, b2, b3,...) de razão q = 2 e primeiro termo b1 = 1

---> Para encontrar os termos da PG usamos a fórmula da razão q = a2/a1

a2 = q.a1 = 2.1 = 2

a3 = q.a2 = 2.2 = 4

a4 = q.a3 = 2.4 = 8

a5 = q.a4 = 2.8 = 16

a6 = q.a5 = 2.16 = 32

a7 = q.a6 = 2.32 = 64

a8 = q.a7 = 2.64 = 128

a9 = q.a8 = 2.128 = 256

a10 = q.a9 = 2.256 = 512

---> Montagem dos 10 termos da  PG.

PG (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512)

---> A soma dos elementos da PG será feita da seguinte forma:

---> Fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma PG.

Sn = a1 (q^n -  1)  /q - 1

a1 = primeiro termo = 1

n = número de termos = 10

Sn = soma dos termos = ?

an = último termo = 512

---> Cálculo da soma dos termos da PG      

Sn = a1 (q^n -  1)  /q - 1

S10 = 1.(2^10 - 1)) /2 - 1  

S10 = 1.(1024 - 1)/1

 S10 = 1023

a10 = 300 e b10 = 512, então b10 > a10

a) ( F ) a10 > b10

PA, S10 = 1650 e PG, S10 = 1023, então, a soma dos 10 primeiros termos da PA é maior que a soma dos 10 primeiros termos da PG.

b) ( V ) A soma dos 10 primeiros termos da PA é maior que a soma dos 10 primeiros termos da PG.​​

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

a) ( F ) $\sf a_{10} > b_{10}$

• PA

$\sf a_n=a_1+(n-1)\cdot r$

$\sf a_{10}=a_1+9r$

$\sf a_{10}=30+9\cdot30$

$\sf a_{10}=30+270$

$\sf a_{10}=300$

• PG

$\sf b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

$\sf b_{10}=b_1\cdot q^9$

$\sf b_{10}=1\cdot2^9$

$\sf b_{10}=1\cdot512$

$\sf b_{10}=512$

b) ( V ) A soma dos 10 primeiros termos da PA é maior que a soma dos 10 primeiros termos da PG.

• PA

$\sf S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$

$\sf S_{10}=\dfrac{(a_1+a_{10})\cdot10}{2}$

$\sf S_{10}=\dfrac{(30+300)\cdot10}{2}$

$\sf S_{10}=\dfrac{330\cdot10}{2}$

$\sf S_{10}=\dfrac{3300}{2}$

$\sf S_{10}=1650$

• PG

$\sf S_n=\dfrac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}$

$\sf S_{10}=\dfrac{1\cdot(2^{10}-1)}{2-1}$

$\sf S_{10}=\dfrac{1\cdot(1024-1)}{1}$

$\sf S_{10}=\dfrac{1\cdot1023}{1}$

$\sf S_{10}=\dfrac{1023}{1}$

$\sf S_{10}=1023$