Matemática, perguntado por thaynafaria0816, 10 meses atrás

Dada a PA (7,11,15,19...) determine o 25º termo

Soluções para a tarefa

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (7, 11, 15, 19,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:7

c)vigésimo quinto termo (a₂₅): ?

d)número de termos (n): 25 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 25ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do vigésimo quinto termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 11 - 7 ⇒

r = 4 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o vigésimo quinto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₂₅ = 7 + (25 - 1) . (4) ⇒

a₂₅ = 7 + (24) . (4) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₂₅ = 7 + 96 ⇒

a₂₅ = 103

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O 25º termo da P.A.(7, 11, 15, 19, ...) é 103.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₂₅ = 103 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o vigésimo quinto termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

103 = a₁ + (25 - 1) . (4) ⇒

103 = a₁ + (24) . (4) ⇒

103 = a₁ + 96 ⇒ (Passa-se 96 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

103 - 96 = a₁ ⇒

7 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 7 (Provado que a₂₅ = 103.)

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