Dada a PA(3,9,...,51); determine o número de termos desta PA
Soluções para a tarefa
Resposta:
Usando o primeiro e o segundo termo, podemos saber que a razão da PA é:
9-3 =6
Portanto r=6
Usando a fórmula geral da PA:
=
+(n-1).r
substitua o termo 51 no ,
pelo primeiro termo (3), e a r=6 (que já achamos anteriormente)
51=3+(n-1).6
51=3+6n-6
51+6-3=6n
54=6n
n=9
Achamos que o 51 é o nono (n=9) termo da PA, portanto a PA possui 9 termos.
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (3, 9, ..., 51), tem-se que:
a)trata-se de uma progressão aritmética (P.A.) finita, porque se sabe qual é o último termo, embora não se conheça a sua posição, a ordem em que ele se encontra na referida sequência;
b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:3
c)último termo (an): 51 (Chama-se último termo ou enésimo termo porque não se conhece a posição (a ordem) que ele ocupa na progressão.)
d)número de termos (n): ? (Embora não se saiba o seu valor, necessariamente se diz que será positivo e inteiro, porque não existe indicação de quantidade por meio de números negativos e de decimais.)
e)por meio da observação dos dois primeiros termos e do último da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer).
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 9 - 3 ⇒
r = 6 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o número de termos:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
51 = 3 + (n - 1) . (6) ⇒
51 = 3 + 6n - 6 ⇒
51 = -3 + 6n ⇒
51 + 3 = 6n ⇒
54 = 6n ⇒
54/6 = n ⇒
9 = n ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
n = 9
Resposta: O número de termos da P.A.(3, 9, ..., 51) é 9.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo n = 9 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o número de termos realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
51 = a₁ + (9 - 1) . (6) ⇒
51 = a₁ + (8) . (6) ⇒ (Veja a Observação 2.)
51 = a₁ + 48 ⇒
51 - 48 = a₁ ⇒
3 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 3 (Provado que n = 9.)
Observação 2: Na parte destacada, foi aplicada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam em sinal de positivo (+).
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