Question

dada a PA (12,19,26...)calcule a soma do 30º até o 42° termo

Answer 1

PA(12,19,26)
r=$a_{2} - a_{1}$
r=19-12
r=7
calculo do $a_{30}$
$a_{n}= a_{1} + (n-1).r \\ a_{30}= 12+ (30-1).7 \\ a_{30} = 215$

calculo do $a_{42}$ 
$a_{n}= a_{1} + (n-1).r \\ a_{42} = 12 + (42 - 1).7 \\ a_{42} = 299$

Calculo da soma dos 30 primeiros termos
$S_{n} = \frac{( a_{1} + a_{n} ).n}{2} \\ S_{30} = \frac{( a_{1} + a_{30} ).30}{2} \\ S_{30} = \frac{( 12 + 215 ).30}{2} \\ S_{30} = 3405$

Calculo da soma dos 42 primeiros termos
$S_{n} = \frac{( a_{1} + a_{n} ).n}{2} \\ S_{42} = \frac{( a_{1} + a_{42} ).42}{2} \\ S_{42} = \frac{( 12 + 299 ).42}{2} \\ S_{42} = 6531$

Soma dos termos de 30 a 42
$S_{42} - S_{30} = \\ 6531-3405 = 3126$
$3126 + a_{30} = 3126 + 215 = 3341$

S{3341}

Answer 2

i) Representarei a soma dos n primeiros termos de uma sequência por $S_n$. Se você perceber verá que:

$a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+\ldots+a_n=S_n-S_{m-1}$

Como queremos saber a soma do 30º termo até o 42º teremos que calcular:

$\boxed{a_{30}+a_{31}+\ldots+a_{42}=S_{42}-S_{29}}$

ii) Agora que reescrevemos a expressão que queremos calcular podemos trabalhar mais facilmente com ela. Observando a PA encontramos que $a_1=12$ e que r=7. Calculemos, primeiro, os termos $a_{29} \ e \ a_{42}$:

$a_n=a_1+r(n-1)\Rightarrow a_n=12+7(n-1)\Rightarrow a_n=7n+5\\ \\ a_{29}=7.29+5\Rightarrow a_{29}=203+5\Rightarrow \boxed{a_{29}=208}\\ \\ a_{42}=7.42+5 \Rightarrow a_{42}=294+5\Rightarrow \boxed{a_{42}=299}$

iii) Agora vamos substituir esses valores na fórmula da soma dos termos da PA:

$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\\ \\ S_{29}=\frac{29(12+208)}{2}\Rightarrow S_{29}=\frac{29.220}{2}\Rightarrow S_{29}=29.110\\ \\ \boxed{S_{29}=3190}\\ \\ S_{42}=\frac{42.(12+299)}{2}\Rightarrow S_{42}=21.311 \\ \\ \boxed{S_{42}=6531}$

iv) Agora temos tudo que precisamos, basta subtrair um valor do outro:

$a_{30}+a_{31}+a_{32}+\ldots+a_{42}=S_{42}-S_{29}\\ \\ a_{30}+a_{31}+a_{32}+\dots+a_{42}=6531-3190\\ \\ \boxed{\boxed{a_{30}+a_{31}+a_{32}+\ldots+a_{42}=3341}}$