dada a PA(10,13,...,61) determine os termos
Soluções para a tarefa
Para descobri quantos termos possui essa p.a utilizamos a fórmula do termo geral e substitumos os valores conhecidos;
An = A1 + (n-1)*r
61 = 10 + (n-1)*3
3(n-1) = 61 - 10
3n -3 = 51
3n = 54
n = 54/3
n = 18 termos
Como 61 é o ultimo termo e na formula utilizamos ele como resultado descobrimos a posiçao dele (que é a ultima) e determina o numero de termos que existem
(10,13,16,19,22,25,28,31.....61)
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (10, 13, ..., 61), tem-se que:
a)trata-se de uma progressão aritmética (PA) finita, porque se sabe qual é o último termo, embora não se conheça a sua posição, a ordem em que ele se encontra na referida sequência;
b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:10
c)último termo (an): 61 (Chama-se último termo ou enésimo termo porque não se conhece a posição (a ordem) que ele ocupa na progressão.)
d)número de termos (n): ? (Embora não se saiba o seu valor, necessariamente se diz que será positivo e inteiro, porque não existe indicação de quantidade por meio de números negativos e de decimais.)
e)por meio da observação dos dois primeiros termos e do último da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer).
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 13 - 10 ⇒
r = 3 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o número de termos:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
61 = 10 + (n - 1) . (3) ⇒
61 = 10 + 3n - 3 ⇒
61 = 7 + 3n ⇒
61 - 7 = 3n ⇒
54 = 3n ⇒
54/3 = n ⇒
18 = n ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
n = 18
Resposta: O número de termos da P.A.(10, 13, ..., 61) é 18.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo n = 18 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o número de termos realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
61 = a₁ + (18 - 1) . (3) ⇒
61 = a₁ + (17) . (3) ⇒ (Veja a Observação 2.)
61 = a₁ + 51 ⇒
61 - 51 = a₁ ⇒
10 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 10 (Provado que n = 18.)
Observação 2: Na parte destacada, foi aplicada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam em sinal de positivo (+).
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