Dada a PA (10,13,16...61) determine o numero de termos dessa PA?
À posição do termo 37
Soluções para a tarefa
r = a2 - a1
r = 13 - 10
r = 3
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Numero de termos:
an = a1 + ( n -1) . r
61 = 10 + ( n -1) . 3
61 = 10 + 3n - 3
61 = 7 + 3n
54 = 3n
n = 18
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Posição do termo de valor 37
an = a1 + ( n -1) . r
37 = 10 + ( n -1) . 3
37 = 10 + 3n - 3
37 = 7 + 3n
30 = 3n
n = 10
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (10, 13, 16, ..., 61), tem-se que:
a)trata-se de uma progressão aritmética (PA) finita, porque se sabe qual é o último termo, embora não se conheça a sua posição, a ordem em que ele se encontra na referida sequência;
b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:10
c)último termo (an): 61 (Chama-se último termo ou enésimo termo porque não se conhece a posição (a ordem) que ele ocupa na progressão.)
d)número de termos (n): ? (Embora não se saiba o seu valor, necessariamente se diz que será positivo e inteiro, porque não existe indicação de quantidade por meio de números negativos e de decimais. Nesta tarefa, poder-se-á verificar que n pode representar tanto o número de termos, expressado com um numeral cardinal (um, dois, sete etc) quanto a posição que um determinado termo ocupa na sequência, expressado por meio de um numeral ordinal (primeiro, quarto, vigésimo, etc).)
e)por meio da observação dos dois primeiros termos e do último da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer).
f)posição do termo 37: ? (Neste caso, será necessário fazer um "corte" na progressão finita, de modo a considerar o an (último temo) igual a 37, e realizar o mesmo procedimento para o cálculo do número de termos quando o último for 61.)
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 13 - 10 ⇒
r = 3 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o número de termos, considerando an = 61:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
61 = 10 + (n - 1) . (3) ⇒
61 = 10 + 3n - 3 ⇒
61 = 7 + 3n ⇒
61 - 7 = 3n ⇒
54 = 3n ⇒
54/3 = n ⇒
18 = n ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
n = 18
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(IV)Nova aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão na fórmula do termo geral (an) da P.A., desta vez, porém, considerando an = 37, a fim de determinar a posição ou ordem que ele ocupa na sequência:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
37 = 10 + (n - 1) . (3) ⇒
37 = 10 + 3n - 3 ⇒
37 = 7 + 3n ⇒
37 - 7 = 3n ⇒
30 = 3n ⇒
30/3 = n ⇒
10 = n ⇔
n = 10
Resposta: O número de termos da P.A.(10, 13, ..., 61) é 18 e a posição do termo 37 é a décima.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE AS RESPOSTAS ESTÃO CORRETAS
- PRIMEIRA QUESTÃO:
→Substituindo n = 18 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o número de termos realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
61 = a₁ + (18 - 1) . (3) ⇒
61 = a₁ + (17) . (3) ⇒
61 = a₁ + 51 ⇒
61 - 51 = a₁ ⇒
10 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 10 (Provado que n = 18.)
- SEGUNDA QUESTÃO:
→Substituindo n = 10 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, a razão (r), verifica-se que o valor correspondente a ela será obtido nos cálculos, confirmando-se que a posição do termo 37 realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
37 = 10 + (10 - 1) . (r) ⇒
37 - 10 = 9 . r ⇒
27 = 9 . r ⇒
27/9 = r ⇒
3 = r ⇔
r = 3 (Provado que n = 10.)
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