Question

Dada a P.A. infinita (2y+3, 3y+11, 5y+14,...), determine a soma do 25º termo com o 32º termo desta P.A.​

Answer 1

Antes de tudo temos que definir valores numéricos para esta P.A.

Faremos isso quando descobrirmos o valor de "y".

A razão de uma P.A. pode ser dada ao pegar um termo qualquer e subtrair o seu antecessor, sendo assim podemos estabelecer as seguintes relações:

$r=(3y+11)-(2y+3)$

$r=3y+11-2y-3$

$r=y+8$

$r=(5y+14)-(3y+11)$

$r=5y+14-3y-11$

$r=2y+3$

Note que encontramos duas formas de expressar a razão "r". Se ambas as formas expressam a mesma coisa, logicamente são iguais entre si:

$2y+3=y+8$

$2y-y=8-3$

$y=5$

Agora podemos atribuir valores numéricos aos termos:

$a_1=2y+3=2\cdot 5+3=10+3=13$

$a_2=3y+11=3\cdot 5+11=15+11=26$

$a_3=5y+14=5\cdot 5+14=25+14=39$

Está P.A. então pode ser reescrita como (13, 26, 39...) e fica notável que o primeiro termo é 13 e a razão também é 13.

Sabendo o primeiro termo e a razão, nós podemos usar o Termo Geral para encontrar o valor do 25º e do 32º termo:

$a_{25}=13+24\cdot 13=13+312=325$

$a_{32}=13+31\cdot 13=13+403=416$

E finalmente determinamos a soma pedida:

$a_{25}+a_{32}=325+416$

$\boxed{a_{25}+a_{32}=741}$