Question

Dada a Matriz
segue abaixo a pergunta

Answer 1

Resposta: -2

Para encontrar a matriz transposta, devemos trocar uma linha por uma coluna, veja:

$A = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$        $A^{t} = \left[\begin{array}{ccc}a&c\\b&d\end{array}\right]$

Para o seu exemplo:

$A = \left[\begin{array}{ccc}x^{2}-1 &4\\9&x^{3} \end{array}\right]$      $A^{t} = \left[\begin{array}{ccc}x^{2}-1 &9\\4&x^{3} \end{array}\right]$

E assim, basta igualar a transposta a matriz que queremos encontrar:

$\left[\begin{array}{ccc}x^{2}-1 &9\\4&x^{3} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}3 &9\\4&-8 \end{array}\right]$

E para que as duas matrizes sejam iguais, todos os seus termos precisam ser iguais:

(I) x² - 1 = 3

x² = 3 + 1

x² = 4

x = √4

x = 2 ou x = -2

(II) x³ = -8

x = ∛-8

x = -2

Queremos o valor de x que satisfaça (I) e (II), logo x = - 2

Answer 2

O primeiro passo é calcular a matriz transposta. Recordamos que isso consiste apenas em trocar as linhas pelas colunas da matriz. Por exemplo, se uma matriz M é

$M = \left[ \begin{array}{cc} \heartsuit & \spadesuit \\ \clubsuit & \Diamond \end{array} \right]$

Então sua transposta será

$M^t = \left[ \begin{array}{cc} \heartsuit & \clubsuit \\ \spadesuit & \Diamond \end{array} \right]$

Repare que os elementos da diagonal principal não mudam de lugar. Ou seja, no caso do seu problema, o 4 e 9 trocam de lugar mas x²-1 e  x³ permanecem. Teremos então

$A^t = \left[ \begin{array}{cc} x^2-1 & 9 \\ 4 & x^3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 3 & 9 \\ 4 & -8 \end{array} \right] \Rightarrow \begin{cases} x^2-1 = 3 \\ x^3 = -8 \end{cases}$

Portanto procuramos x que satisfaça a ambas equações simultaneamente.

Na primeira temos

x²-1 = 3 ⇒ x² = 4 ⇒ x = 2 ou x = -2

Na segunda temos:

x³ = -8 ⇒ x = -2

Então o valor de x que atende a ambas equações é x = -2.

Resposta: x = -2