Question

Dada a matriz A abaixo, o determinante da matriz 3A é igual a:

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\det 3A=135}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

No cálculo do determinante de matrizes, existem cerca de 7 teoremas que norteiam nossos passos para encontrar o resultado final.

Porém, aqui a questão pede que nós encontremos o determinante de 3A e não somente de A. Ou seja, devemos encontrar o determinante da matriz ao multiplicarmos A por 3.

Para isso, existem duas formas de fazê-lo

• Podemos multiplicar cada termo da matriz pela constante e depois calcular o determinante via Regra de Sarrus.
• Podemos calcular o determinante original e utilizar uma propriedade dos determinantes

De acordo com a primeira propriedade:

Seja uma matriz quadrada qualquer de ordem $n$:  $M=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}_{n\times n}$. Ao multiplicarmos ela por uma constante $k$, o resultado da multiplicação será $kM=\begin{bmatrix}k\cdot a_{ij}\end{bmatrix}_{n\times n}$

Enquanto a segunda propriedade nos garante que dada essa essa mesma matriz multiplicada pela constante $k$, o determinante dela será dado por $\det kM=k^n\cdot\det M$.

Logo, considerando a matriz do enunciado:

$A=\begin{bmatrix}2&1&3\\1&1&1\\0&1&4\\\end{bmatrix}$

Podemos encontrar seu determinante de diversas maneiras, tal qual o Escalonamento (ou Eliminação de Gauss-Jordan)

A intenção é zerar todos os elementos abaixo do elemento pivô, que é um elemento pertencente à diagonal principal que escolhemos. Para isso, multiplicamos a linha deste elemento por uma constante e somamos a outra. Segundo o Teorema de Jacobi, isto não altera o valor do determinante.

Escolha o elemento $a_{11}=2$ como elemento pivô

Multiplique a primeira linha por $-\dfrac{1}{2}$ e some à segunda

$A=\begin{bmatrix}2&1&3\\1&1&1\\0&1&4\\\end{bmatrix}~\rightarrow L_1\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+L_2$

Ficamos com

$A=\begin{bmatrix}2&1&3\\0&\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2}\\0&1&4\\\end{bmatrix}$

Agora, escolha o elemento $a_{22}=\dfrac{1}{2}$ como elemento pivô

Multiplique a segunda linha por $-2$ e some à terceira

$A=\begin{bmatrix}2&1&3\\0&\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2}\\0&1&4\\\end{bmatrix}~\rightarrow L_2\cdot(-2)+L_3$

Ficamos com

$A=\begin{bmatrix}2&1&3\\0&\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2}\\0&0&5\\\end{bmatrix}$

Feito isso, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, ou seja

$\det A = 2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot5$

Multiplique os valores

$\det A=5$

Feito isso, utilizemos a segunda propriedade para enfim encontrarmos o que a questão pede

Como A é uma matriz quadrada de ordem 3 e neste caso desejamos encontrar o determinante de 3A, a constante que utilizaremos será $3$.

$\det 3A = 3^3\cdot\det A$

Substitua o valor do determinante e calcule a potência

$\det 3A=27\cdot5$

Multiplique os valores

$\det 3A = 135$.

Este é o valor do determinante que buscávamos.