Question

Dada a matriz A abaixo, determine o valor do determinante da matriz inversa de A.
a. -2
b. -1/2
c. 1/2
d. 2
e. -1

Answer 1

Temos uma matriz A (2x2) e o objetivo aqui é encontrar a matriz inversa de A e calcular o seu determinante

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$\sf A=\begin{bmatrix}\sf 1&\sf \: \: 3\\ \sf 0&\sf -2\end{bmatrix}$

• Primeiro de tudo vamos calcular o determinante desta matriz. Para isso, multiplique a diagonal principal e subtraia da multiplicação da diagonal secundária:

$\sf Det~(A)=1\cdot(-2)-[3\cdot0]$

$\sf Det~(A)=-2-[0]$

$\boxed{\sf Det~(A)=-2}$

• Agora, divida cada elemento da matriz pelo valor do determinante:

$\sf \implies~~\begin{bmatrix}\sf \dfrac{1}{-2~~}&\sf \dfrac{3}{-2~~}\\\\ \sf \dfrac{0}{-2~~}&\sf \dfrac{-2~~}{-2~~}\end{bmatrix}$

$\sf \implies~~\begin{bmatrix}\sf -\dfrac{1}{2}&\sf -\dfrac{3}{2}\\\\ \sf~ 0&\sf~ ~1\end{bmatrix}$

• Agora, troque a posição dos elementos da diagonal principal:

$\sf \implies~~\begin{bmatrix}\sf~1 &\sf -\dfrac{3}{2}\\\\ \sf~ 0&\sf~ -\dfrac{1}{2}~\end{bmatrix}$

• Por fim, troque o sinal dos elementos da diagonal secundária:

$\sf A^{-1} = \begin{bmatrix}\sf~1 &\sf ~~~\dfrac{3}{2}\\\\ \sf~ 0&\sf~ -\dfrac{1}{2}~\end{bmatrix}$

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Encontrado a matriz inversa, para calcular seu determinante basta multiplicar a diagonal principal e subtrair da multiplicação da diagonal secundária:

$\sf Det~(A^{-1})=1\cdot\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)-\bigg[\dfrac{3}{2}\cdot0\bigg]$

$\sf Det~(A^{-1})=-\dfrac{1}{2}-[0]$

$\boxed{\boxed{\sf Det~(A^{-1})=-\dfrac{1}{2}}}$

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Resposta: Letra B

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Att. Nasgovaskov

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