Question

Dada a matriz A abaixo, calcule o determinante da matriz inversa de A
A)20
B)25
C)1/9
D)1/25

Answer 1

$( \big( \Big( \bigg(\Bigg( C)\ 1/9 \Bigg)\bigg)\Big)\big))$

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Explicação passo-a-passo:________✍

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☺lá, Remix, como estás nestes tempos de quarentena⁉ Como vão os estudos à distância⁉ Espero que bem❗

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❄ Temos uma regra geral para matrizes inversas que nos diz que

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$\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & Det (A^{-1}) = \dfrac{1}{Det (A)} & \\ & & \\ \end{array}}$

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❄ Portanto, vamos encontrar Det (A)

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$A_{2,2}=\left[\begin{array}{cc}5&4\\\\4&5\\\end{array}\right]$

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❄ Esta será nossa diagonal multiplicada inicial.

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$A_{2,2}=\left[\begin{array}{cc}5&.\\\\.&5\\\end{array}\right]$

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➡ Det(A) = 5*5 +  

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❄ Esta será nossa diagonal multiplicada a ser subtraída.

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$A_{2,2}=\left[\begin{array}{cc}.&4\\\\4&.\\\end{array}\right]$

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➡ Det(A) = 5*5 - 4*4

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❄ Desta forma obtemos a equação e o resultado procurado:

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➡ Det(A) = 25 - 16

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$\boxed{ \ \ \ Det(A) = 9 \ \ \ }$

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$\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & Det (A^{-1}) = \dfrac{1}{Det (A)} = \dfrac{1}{9} & \\ & & \\ \end{array}}$

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❄ Mas e se não lembrássemos desta regra? Neste caso teríamos que calcular nossa matriz inversa e encontrar sua determinante. Vamos fazer isso também para confirmar se de fato esta regra funciona :P

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❄ Temos que a matriz inversa de $A_{ij}$, denotada $A^{-1}_{ij}$, corresponde à matriz que quando multiplicada por A resulta na matriz identidade. Para isso, a matriz

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$\begin{cases}\text \ \ a^{-1}_{ij}\ =\ 0\ se\ i\ diferente\ de\ j \\\\\\\ \text \ a^{-1}_{ij}\ =\ 1\ se\ i=j \end{cases}$

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❄ Portanto temos que que

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$A_{2,2}=\left[\begin{array}{cc}5&4\\\\4&5\\\end{array}\right]\ \cdot \ A^{-1}_{2,2}\left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}\\\\a_{21}&a_{22}\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\\\0&1\\\end{array}\right]$

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❄ Ou seja, sabemos que somente os elementos da diagonal principal da matriz resultante de A . $A^{-1}$ serão diferentes de zero e também sabemos que eles serão iguais a um, portanto

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$\Longrightarrow 5 \cdot a'_{11} + 4 \cdot a'_{21} = 1\\\\ \Longrightarrow 5 \cdot a'_{12} + 4 \cdot a'_{22} = 0\\\\ \Longrightarrow 4 \cdot a'_{11} + 5 \cdot a'_{21} = 0\\\\ \Longrightarrow 4 \cdot a'_{12} + 5 \cdot a'_{22} = 1$

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❄ Após algumas manipulações em nossos sistemas chegamos às seguintes relações:

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$\Longrightarrow a'_{11} = \dfrac{5}{5 \cdot 5 - 4\cdot 4} = \dfrac{5}{9}\\\\\\\Longrightarrow a'_{12} = \dfrac{4}{4 \cdot 4 - 5\cdot 5} = \dfrac{-4}{9}\\\\\\\Longrightarrow a'_{11} = \dfrac{4}{4 \cdot 4 - 5\cdot 5} = \dfrac{-4}{9}\\\\\\\Longrightarrow a'_{21} = \dfrac{5}{5 \cdot 5 - 4\cdot 4} = \dfrac{5}{9}$

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$A^{-1}_{2,2}=\left[\begin{array}{cc}\dfrac{5}{9}&\dfrac{-4}{9}\\\\\dfrac{-4}{9}&\dfrac{5}{9}\\\end{array}\right]$

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$Det A_{2,2}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\dfrac{5}{9}&.\\\\.&\dfrac{5}{9}\\\end{array}\right]$

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$Det A_{2,2}^{-1}\ =\ \dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{5}{9}\ -$

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$Det A_{2,2}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}.&\dfrac{-4}{9}\\\\\dfrac{-4}{9}&.\\\end{array}\right]$

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$Det A_{2,2}^{-1}\ =\ \frac{5}{9} \cdot \frac{5}{9}\ -\ \frac{-4}{9} \cdot \frac{-4}{9}$

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❄ Desta forma obtemos a equação e o resultado procurado:

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$Det A_{2,2}^{-1}\ =\ \frac{25}{81}\ -\ \frac{16}{81}$

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$\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & Det A_{2,2}^{-1}\ =\ \dfrac{9}{81} =\ \dfrac{1}{9} & \\ & & \\ \end{array}}$  ✅

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.Como esperado.

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☕ Bons estudos.

(Dúvidas nos comentários) ☄

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"Absque sudore et labore nullum opus perfectum est."