Question

Dada a matriz A = [

5 2

3 4

] e det(A) seu determinante, podemos afirmar que det.A é:


a) um número ímpar

b) um número negativo

c) um número primo

d) um número menor que 10

e) um número par.​

Answer 1

Resposta:

O determinante de uma matriz possui várias aplicações atualmente. Utilizamos o determinante para verificar se três pontos estão alinhados no plano cartesiano, para calcular áreas de triângulos, para resolução de sistemas lineares, entre outras aplicações na matemática. O estudo de determinantes não se limita à matemática, há algumas aplicações na física, como no estudo de campos elétricos.

Calculamos determinantes somente de matrizes quadradas, ou seja, matrizes em que a quantidade de colunas e a quantidade de linhas são iguais. Para calcular o determinante de uma matriz, precisamos analisar a ordem dela, ou seja, se ela é 1x1, 2x2, 3x3 e assim sucessivamente, quanto maior a sua ordem, mais difícil será encontrar o determinante. No entanto, há métodos importantes realizar-se o exercício, como a regra de Sarrus, utilizada para calcular-se determinantes de matrizes 3x3.

Explicação passo-a-passo:

Determinante de matriz de ordem 1

Uma matriz é conhecida como de ordem 1 quando possui exatamente uma linha e uma coluna. Quando isso ocorre, a matriz possui um único elemento, o a11. Nesse caso o determinante da matriz coincide com esse seu único termo.

A = (a11)

det(A) = | a11 | = a11

Exemplo:

A = [2]

det(A) = |2| = 2

Para calcular-se determinantes de matrizes de ordem 1, é necessário então apenas conhecer o seu único elemento.Determinantes de matrizes de ordem 2

A matriz quadrada 2x2, conhecida também como matriz de ordem 2, possui quatro elementos, nesse caso, para calcular o determinante, é necessário conhecermos o que é a diagonal principal e a diagonal secundária.

Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 2, calculamos a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e os termos da diagonal secundária. Utilizando o exemplo algébrico que construímos, o det(A) será:

Determinante de matriz de ordem 3

A matriz de ordem três é mais trabalhosa para obter-se o determinante do que as anteriores, na verdade, quanto maior a ordem de uma matriz, mais difícil será esse trabalho. Nela é necessário utilizar o que conhecemos como regra de Sarrus.

Regra de Sarrus

A regra de Sarrus é um método para calcular-se determinantes de matrizes de ordem 3. É necessário seguir alguns passos, sendo o primeiro duplicar as duas primeiras colunas no final da matriz, conforme o exemplo a seguir.

Agora vamos multiplicar os termos de cada uma das três diagonais que estão no mesmo sentido da diagonal principal.

Realizaremos um processo parecido com a diagonal secundária e as outras duas diagonais que estão no mesmo sentido que ela.

Note que os termos da diagonal secundária estão sempre acompanhados com o sinal negativo, ou seja, sempre trocaremos o sinal do resultado da multiplicação dos termos da diagonal secundária.

Veja também: Teorema de Binet – processo prático para a multiplicação de matrizes

Propriedades do determinante

1ª propriedade

Caso uma das linhas da matriz seja igual a 0, então o seu determinante será igual a 0.

2ª propriedade

Seja A e B duas matrizes, det(A·B) = det(A) · det(B).

Calculando os determinantes separados, temos que:

det(A) = 2 · (-6) – 5 · 3

det(A) = -12 – 15 = -27

det(B) = 4 · 1 – 2 · (-2)

det(B) = 4 + 4 = +8

Então det(A) · det(B) = -27 · 8 = -216

Agora vamos calcular det(A·B)

3ª propriedade

Seja A uma matriz e A’ uma nova matriz construída trocando-se as linhas da matriz A, então det(A’) = -det(A), ou seja, ao inverter-se a posição das linhas de uma matriz, o seu determinante terá o mesmo valor, porém de sinal trocado.