Question

Dada a matriz a = [2 1 3 2 ] determine a inversa A -1

Answer 1

A inversa da matriz A é $A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}2&-1\\-3&2\end{array}\right]$.

Existe uma propriedade que diz que uma matriz multiplicada pela sua inversa é igual a matriz identidade.

Ou seja, $\boxed{A.A^{-1}=I}$.

Temos que $A=\left[\begin{array}{ccc}2&1\\3&2\end{array}\right]$. Vamos considerar que a inversa de A é $A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$.

Assim, temos que:

$\left[\begin{array}{ccc}2&1\\3&2\end{array}\right] .\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}2a+c&2b+d\\3a+2c&3b+2d\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$.

Então, temos o seguinte sistema:

{2a + c = 1

{2b + d = 0

{3a + 2c = 0

{3b + 2d = 1

De 2a + c = 1 temos que c  = 1 - 2a. Assim,

3a + 2(1 - 2a) = 0

3a + 2 - 4a = 0

-a = -2

a = 2. Logo, c = -3.

De 2b + d = 0 temos que d = -2b. Assim,

3b + 2(-2b) = 1

3b - 4b = 1

-b = 1

b = -1. Logo, d = 2.

Portanto, $A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}2&-1\\-3&2\end{array}\right]$.