Question

Dada a Integral tripla a seguir:

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos resolver a seguinte integral tripla:

$\displaystyle{\iiint_R9x^2y^3z\,dx\,dy\,dz}$

Sabendo que a região $R$ é delimitada pelas retas: $-1\leq x\leq 2,~0\leq y\leq3$ e $0\leq z\leq 2$.

Veja que os limites de integração são numéricos, logo, de acordo com o Teorema de Fubini, a ordem de integração não influencia no resultado da integral.

Porém, respeitando a ordem de integração determinada pela questão, teremos:

$\displaystyle{\int_0^2\int_0^3\int_{-1}^29x^2y^3z\,dx\,dy\,dz}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral é um operador linear, logo vale que: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$.
• A integral iterada de uma função deve respeitar a variável a qual se está integrando: o restante das variáveis é considerada constante e vale a regra acima.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$, é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

Resolvemos a integral mais interna, em respeito à variável $x$. Aplique a linearidade.

$\displaystyle{\int_0^2\int_0^39y^3z\cdot\int_{-1}^2x^2\,dx\,dy\,dz}$

Aplique a regra da potência

$\displaystyle{\int_0^2\int_0^39y^3z\cdot\dfrac{x^{2+1}}{2+1}~\biggr|_{-1}^2\,dy\,dz}$

Some os valores no expoente e no denominador e aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_0^2\int_0^39y^3z\cdot\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_{-1}^2\,dy\,dz}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^2\int_0^39y^3z\cdot\left(\dfrac{2^3}{3}-\dfrac{(-1)^3}{3}\right)\,dy\,dz}$

Calcule as potências, some e multiplique os valores

$\displaystyle{\int_0^2\int_0^39y^3z\cdot\left(\dfrac{8}{3}+\dfrac{1}{3}\right)\,dy\,dz}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^2\int_0^39y^3z\cdot\dfrac{9}{3}\,dy\,dz}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^2\int_0^327y^3z\,dy\,dz}$

Então, resolvemos a integral em respeito à variável $y$. Aplique a linearidade.

$\displaystyle{\int_0^227z\cdot\int_0^3y^3\,dy\,dz}$

Aplique a regra da potência

$\displaystyle{\int_0^227z\cdot\dfrac{y^{3+1}}{3+1}~\biggr|_0^3\,dy\,dz}$

Some os valores no expoente e no denominador e aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_0^227z\cdot\dfrac{y^4}{4}~\biggr|_0^3\,dy\,dz}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^227z\cdot\left(\dfrac{3^4}{4}-\dfrac{0^4}{4}\right)\,dz}$

Calcule as potências, some e multiplique os valores

$\displaystyle{\int_0^227z\cdot\dfrac{81}{4}\,dz}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^2\dfrac{2187}{4}z\,dz}$

Por fim, resolvemos a integral em respeito à variável $z$. Aplique a linearidade.

$\displaystyle{\dfrac{2187}{4}\cdot\int_0^2z\,dz}$

Aplique a regra da potência, sabendo que $z=z^1$

$\dfrac{2187}{4}\cdot\dfrac{z^{1+1}}{1+1}~\biggr|_0^2$

Some os valores no expoente e denominador e aplique os limites de integração

$\dfrac{2187}{4}\cdot\dfrac{z^2}{2}~\biggr|_0^2\\\\\\ \dfrac{2187}{4}\cdot\left(\dfrac{2^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}\right)$

Calcule as potências, some e multiplique os valores

$\dfrac{2187}{4}\cdot\dfrac{4}{2}\\\\\\ \dfrac{2187}{2}$

Calculamos a fração

$1093{,}5~\bold{u.~v}$

Este é o resultado desta integral tripla e é a resposta contida na letra c).