Question

Dada a Integral Indefinida \int{x3/3 + 2x2 - 4x}, o resultado será:

Answer 1

✅ A primitiva da função $\displaystyle\begin{gathered} f(x)=\frac{x^3}{3} +2x^2-4x\end{gathered}$ é igual a função $\displaystyle\text{ \begin{gathered} F(x)=\frac{x^{4}}{12} + \frac{2x^{3}}{3} -2x^2 + \mathbb{C}\end{gathered} }$.

❏ A derivação e a integração são processos inversos, ou seja , suponha que temos uma função f(x) , sua (primitiva / antiderivada) será igual a um certo F(x) , sendo que se derivarmos a função F(x) teremos novamente a função f(x) . Tal definição é dada da seguinte forma:

           $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boxed{\int f(x)dx=F(x)\ \leftrightarrow \ F'(x)=f(x)}}}\end{gathered} }$

❏ Essa foi a definição resumida, antes de resolver sua questão , vale ressaltar as seguinte propriedades de integração:

$\large\displaystyle\begin{gathered} \int \alpha \cdot f(x)dx=\alpha \cdot F(x)+\mathbb{C}\ \ \ \ ( I)\end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} +\mathbb{C}\ ,\ \forall n\neq -1\ \ \ \ (II)\end{gathered} }$

• ( ✍️ ): Sabendo disso, vamos resolver sua questão.

❏ A questão pede a primitiva da função $\displaystyle\begin{gathered} f(x)=\frac{x^3}{3} +2x^2-4x\end{gathered}$, para começarmos a brincar, iremos aplicar a propriedade ( I ), ficando então:

$\large\displaystyle\begin{gathered} F(x)= \int \left(\frac{x^3}{3}+2x^2-4x\right)dx \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} F(x)=\int \frac{x^3}{3}dx+\int 2x^2dx+\int -4xdx \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} F(x)=\frac{1}{3}\cdot \int x^3dx+2\cdot\int x^2dx-4\cdot \int xdx \end{gathered}$

❏ Agora iremos aplicar a propriedade ( II ).

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} F(x)=\frac{1}{3}\cdot \left( \frac{x^{3+1}}{3+1} \right)+2\cdot\left( \frac{x^{2+1}}{2+1} \right)-4\cdot \left(\frac{x^{1+1}}{1+1}\right) +\mathbb{C}\end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} F(x)=\frac{1}{3}\cdot \left( \frac{x^{4}}{4} \right)+2\cdot\left( \frac{x^{3}}{3} \right)-\!\diagup\!\!\!\!4\cdot \left( \frac{x^2}{\!\diagup\!\!\!\!2}\right) + \mathbb{C} \end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore \green{\underline{\boxed{\green{F(x)=\frac{x^{4}}{12} + \frac{2x^{3}}{3} -2x^2 + \mathbb{C\ |\ \mathbb{C}\in \mathbb{R}}}} }}\ \checkmark\end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\Rightarrow \end{gathered}$ Veja mais sobre ( integrais indefinidas ):

• brainly.com.br/tarefa/48504513
• brainly.com.br/tarefa/48478843