Question

dada a integral indefinida imediata ∫(3x²+2x-15).dx

Answer 1

De acordo com os dados do enunciado e realizados os cálculos concluímos que a integral indefinida é:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (3x^2 +2x -15) dx = x^3 + x^{2} -15 +C } }$

A integral indefinida não possui intervalos de integração.

Uma antiderivada da função $\boldsymbol{ \textstyle \sf f }$ é uma função $\boldsymbol{ \textstyle \sf F }$ tal que $\boldsymbol{ \textstyle \sf F'(x) = f(x) }$ em todo ponto onde $\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) }$ é definida.

Se $\boldsymbol{ \textstyle \sf f }$ é uma função contínua, então a sua integral indefinida é dada por:

$\Large \boxed{\displaystyle \mathsf{ \int f(x) \:dx = F(x) +C } }$

Propriedades das integrais indefinidas:

$\Large \displaystyle \mathsf{ \bullet \quad \int \:dx = x + C }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \bullet \quad \int k \:dx = k\; \int dx = k \: x + C }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \bullet \quad \int x^n \: dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \bullet \quad \int \left[ f(x) \pm g(x) \right] \: dx = \int f(x) \: dx \pm \int g(x) \: dx }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \mathsf{ \int (3x^2 +2x -15) dx }$

Aplicando a definição e as propriedades, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (3x^2 +2x -15) dx = \int 3x^{2} \: dx + \int 2x \: dx- \int 15\: dx } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (3x^2 +2x -15) dx = 3\int x^{2} \: dx + 2\int x \: dx- 15 \int \: dx } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (3x^2 +2x -15) dx = 3 \cdot \dfrac{x^{2+1}}{2+1} + 2 \cdot \dfrac{x^{1+1}}{1+1} - 15 \cdot \dfrac{x^{0+1}}{0+1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (3x^2 +2x -15) dx = 3 \cdot \dfrac{x^{3}}{3} + 2 \cdot \dfrac{x^{2}}{2} - 15 \cdot \dfrac{x^{1}}{1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (3x^2 +2x -15) dx = \diagup\!\!\!{ 3} \cdot \dfrac{x^{3}}{ \diagup\!\!\!{ 3}} + \diagup\!\!\!{ 2} \cdot \dfrac{x^{2}}{\diagup\!\!\!{ 2}} - 15 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \int (3x^2 +2x -15) dx = x^3 + x^{2} -15 +C }$

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