Question

Dada a Integral Indefinida:



Assinale a alternativa CORRETA na qual é apresentada sua solução.

A)
12 x to the power of 4 space plus 9 x cubed space minus 10 x squared space plus 5 x space plus space C
B)
x to the power of 4 space plus x cubed space minus x squared space plus x space plus space C

C)
3 x to the power of 4 space plus 3 x cubed space minus 5 x squared space plus 5 x space plus space C

D)
3 x to the power of 4 space plus 5 x space plus space C space space space space space space space space space space space space

E)
x to the power of 4 space plus 5 x space plus space C

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\int (12x {}^{3} + 9x {}^{2} - 10x - 5 )dx$

Sabemos que a integral da soma de várias funções é igual a soma das integrais de cada uma dessas funções envolvidas:

$\int( f(x) \pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

Aplicando essa propriedade citada:

$\int 12x {}^{3} dx + \int 9x {}^{2} dx - \int 10xdx - \int 5dx$

Sabemos também que constante transitam livremente para dentro e fora da integral:

$\int k.f(x)dx = k. \int f(x)dx$

Aplicando outra propriedade:

$12 \int x {}^{3} dx + 9 \int x {}^{2} dx - 10 \int xdx + 5\int dx$

Para finalizar, basta aplicar a regra da potência:

$\int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} + k$

Aplicando mais uma propriedade:

$12. \frac{x {}^{3 + 1} }{3 + 1} + 9. \frac{x {}^{2 + 1} }{2 + 1} - 10. \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} + 5. \frac{x {}^{0 + 1} }{0 + 1} + k \\ \\ 12\frac{x {}^{4} }{4} + 9 \frac{x {}^{3} }{3} - 10. \frac{x {}^{2} }{2} + 5x + k \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{3x {}^{4} + 3x {}^{3} - 5 {x}^{2} + 5x + k, \: k \in \mathbb{R}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado