Question

Dada a integral , faça o esboço da região R, inverta a ordem de integração e calcule as duas integrais. Qual é o valor da área da região R?


Urgente pfv

Answer 1

Resposta:  Área(R) = 16/3 u.a.

Explicação passo a passo:

Temos a seguinte integral dupla:

    $\displaystyle\int_0^2\int_{y^2}^4 dy\,dx\\\\\\ =\boxed{\int_0^2\int_{y^2}^4 1\,dy\,dx\qquad \mathrm{(i)}} \\\\\\=\iint_R 1\,dA$

Pelos limites de integração e pela ordem "dx dy" que a integral está escrita, R é a região do plano descrita por

    $R=\left\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2:~~0\le y\le 2~~\mathrm{e}~~y^2\le x\le 4\right\}.$

ou seja,

• y varia entre os extremos do intervalo [0, 2] e será integrado por último;
• Dado um y ∈ [0, 2], o x varia entre duas funções de y, e será integrado primeiro:

    $f(y)\le x\le g(y)$

onde $f(y)=y^2$  e  $g(y)=4.$

O esboço da região R segue em anexo.

Para inverter a ordem de integração para "dy dx", devemos fazer agora o x variar entre os extremos de um intervalo, e dado um x neste intervalo, o y variar entre duas funções de x:

• x varia entre os extremos do intervalo [0, 4], e será integrado por último;
• Dado um x ∈ [0, 4], o y varia entre duas funções de x, e será integrado primeiro:

    $p(x)\le y\le q(x)$

onde $p(x)=0$  e  $q(x)=\sqrt{x}.$

Redescrevendo a região R, obtemos

    $R=\left\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2:~~0\le x\le 4~~\mathrm{e}~~0\le y\le \sqrt{x}\right\}.$

e a integral escrita na ordem inversa é

    $\displaystyle \iint_R 1\,dA\\\\\\ =\boxed{\int_0^4\int_0^{\sqrt{x}} 1\,dy\,dx\qquad\mathrm{(ii)}}$

Vamos calcular cada uma das integrais (i) e (ii) utilizando o Teorema de Fubini (integrais iteradas):

    Calculando $\mathrm{(i)}:$

    $\displaystyle\int_0^2\int_{y^2}^4 1\,dx\,dy\\\\\\=\int_0^2 x\Big|_{x=y^2}^{x=4}\,dy\\\\\\=\int_0^2(4-y^2)\,dy\\\\\\=\left.\left(4y-\frac{y^3}{3}\right)\right|_{y=0}^{y=2}$

    $=\left(4\cdot 2-\dfrac{2^3}{3}\right)-\left(4\cdot 0-\dfrac{0^3}{3}\right)\\\\\\=\left(8-\dfrac{8}{3}\right)-0\\\\\\=\dfrac{24-8}{3}\\\\\\=\dfrac{16}{3}\qquad\checkmark$

    Calculando $\mathrm{(ii):}$

    $\displaystyle\int_0^4\int_0^{\sqrt{x}}1\,dy\,dx\\\\\\=\int_0^4 y\Big|_{y=0}^{y=\sqrt{x}}\,dx\\\\\\=\int_0^4 (\sqrt{x}-0)\,dx\\\\\\=\int_0^4 x^{1/2}\,dx\\\\\\=\left.\frac{x^{(1/2)+1}}{\frac{1}{2}+1}\right|_{x=0}^{x=4}$

    $=\left.\dfrac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}}\right|_{x=0}^{x=4}\\\\\\=\left.\dfrac{2}{3}\,x^{3/2}\right|_{x=0}^{x=4}\\\\\\=\dfrac{2}{3}\cdot (4^{3/2}-0^{3/2})\\\\\\=\dfrac{2}{3}\cdot (8-0)\\\\\\=\dfrac{16}{3}\qquad\checkmark$

Como a função integrada sobre a região R é a função constante igual a 1, então o valor da integral dupla é numericamente igual à área desta região:

    Área(R) $=\dfrac{16}{3}\mathrm{~u.a.}\qquad\checkmark$

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Bons estudos!