Question

Dada a inequação a < b é verdade que log a < log b isto é, a desigualdade fica preservada ao aplicarmos o log. Por que isso acontece?

Answer 1

Isto se deve ao fato de a função logarítmica (base 10) ser estritamente crescente.

$f\left(x \right )=\mathrm{\ell og\,}x$

Sendo $a$ e $b$ elementos do domínio de $f$, $f$ é estritamente crescente se, e somente se

se $b>a$ então $f\left(b \right )>f\left(a \right )$


De fato, a função logarítmica é estritamente crescente, pois

$\forall\;a,\,b\in \mathbb{R^{*}_{+}},\;a<b\Rightarrow\mathrm{\ell og\,}a<\mathrm{\ell og\,}b$


Podemos verificar que a função logarítimica é estritamente crescente observando o sinal de sua derivada:

$f'\left(x\right)=\dfrac{1}{x\cdot \mathrm{\ell n\,}10}$


Para qualquer valor de $x$ pertencentes aos reais positivos não-nulos, a derivada da função logarítmica é positiva: 

$\forall\;x\in \mathbb{R^{*}_{+}},\;f'\left(x\right)>0$


Logo, $f$ é estritamente crescente em todo o seu domínio.