Question

Dada a inequação (2x-5) . (4 x^{2}-25).( x^{2} +x+1)<0, qual o conjunto da solução em R ?

Answer 1

Vamos calcular as raízes de cada polinômio:
$2x-5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}$
$4x^2-25 = 0 \Rightarrow x = \pm\frac{5}{2}$
$x^2+x+1 = 0 \Rightarrow x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}$

Como o terceiro polinômio não possui raízes reais (por causa do termo $\sqrt{-3}$), as únicas raízes diferentes que temos são $-\frac{5}{2}$ e $\frac{5}{2}$. Isso nos dá três intervalos diferentes para analisarmos:

$x \ \textless \ -\frac{5}{2}$,
$-\frac{5}{2} \ \textless \ x \ \textless \ \frac{5}{2}$
e
$x \ \textgreater \ \frac{5}{2}$

Para $x \ \textless \ -\frac{5}{2}$, os sinais de cada polinômio são, respectivamente:
$-$, $+$ e $+$,
portanto, o produto é negativo, e satisfaz a equação.

Para $-\frac{5}{2} \ \textless \ x \ \textless \ \frac{5}{2}$, os sinais de cada polinômio são, respectivamente:
$-$, $-$ e $+$,
portanto, o produto é positivo, e não satisfaz a equação.

Finalmente, para $x \ \textgreater \ \frac{5}{2}$, os sinais de cada polinômio são, respectivamente:
$+$, $+$ e $+$,
portanto, o produto é positivo, e não satisfaz a equação.

Assim, o conjunto da solução em $\mathbb R$ é o intervalo $x \ \textless \ -\frac{5}{2}$.