Question

Dada a hipérbole de equação 9x
2 − 16y
2 − 126x + 256y − 727 = 0, determine:
(a) A equação reduzida;
(b) O centro;
(c) Os focos;
(d) Os vértices;
(e) Excentricidade.

Answer 1

Os elementos da hipérbole para cada item são:

a)(x - 7)²/16 - (y- 8)²/9 = 1

b) (7, 8).

c) F₁ = (2,8) e F₂ = (12,8).

d) V₁ = (3,8) e V₂ = (11,8).

e) 1,25

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Em matemática, a hipérbole é uma das cônicas obtida através da interseção entre uma superfície cônica circular e um plano que passa através do cone, com o plano não paralelo à linha oposta ao corte. Tem diversas aplicações na modelagem de fenômenos variados como em dispositivos ópticos.

Buscando atender a cada um dos itens, a resolução será dividida em partes.

a) A equação reduzida é encontrada reduzindo à forma (x-x₀)²/a - (y-y₀)²/b = 1. Fazendo as simplificações:

9x² - 16y² - 126x + 256y - 727 = 0

9x² - 126x - 16y²- 256y - 727 = 0

9(x² - 14x) - 16(y²- 16y) = 727

9[(x - 7)²- 49] - 16[(y- 8)²-64] = 727

9(x - 7)²- 441 - 16(y- 8)²+1024 = 727

9(x - 7)² - 16(y- 8)² = 727 + 441 - 1024

9(x - 7)² - 16(y- 8)² = 144

(x - 7)²/16 - (y- 8)²/9 = 1

Logo, a = 4 e b = 3.

b) O centro é o ponto de coordenadas (x₀, y₀). Comparando a forma da equação reduzida com a resposta obtida no item a), tem-se que o centro é o ponto (7, 8).

c) Para encontrar os focos é preciso primeiro encontrar a distância focal. Lembre-se que tal distância é o dobro do parâmetro c que pode ser obtido através do teorema de Pitágoras c² = a² + b².

Aplicando,

c² = 16 + 9 = 25

Logo, c = 5 e a distância focal é igual a 10. Assim, os focos são F₁ = (7-5,8) = (2,8) e F₂ = (7+5,8) = (12,8).

d) Basta somar e diminuir a constante "a" à coordenada horizontal do centro. Assim, V₁ = (7-4,8) = (3,8) e V₂ = (7+4,8) = (11,8).

e) A excentricidade é a razão entre os parâmetros c e a. Assim:

e = c/a = 5/4 = 1,25

Até mais!