Question

Dada a função y=x²-4x +7 determine o vértice

Answer 1

Para encontrar o vértice da parábola, ou seja, o ponto onde a parábola faz a curva, usamos as fórmulas:

xv = -b / 2 . a
yv = - Δ / 4 . a

Como pede o Δ na coordenada y, vamos encontrar:

Δ = b² -4 . a . c
Δ = (-4)² -4 . 1 . 7
Δ = 16 - 28
Δ = -12

Quando o Δ < 0, não existem raízes reais, o que significa que a parábola não vai interceptar nenhum ponto da reta x.
Bom, mas ainda assim tem como identificar onde vai ser se o vértice da parábola com as fórmulas já citadas:

xv = -b / 2 . a
xv =  - (- 4) / 2. 1
xv = 4 / 2
xv = 2

yv = -Δ / 4 . a
yv = - (-12) / 4 . 1
yv = 12 / 4
yv = 3

Essa é a coordenada do vértice:
V(2, 3)

Como não existem raízes reais nessa função, só vão ter duas coordenadas:

O vértice da parábola e o local que a parábola intercepta o eixo y.
Para encontrar o local onde o eixo y é interceptado, é só usar raíz zero na equação, assim:

f(x) = x² - 4x + 7
f(0) = 0² - 4 . 0 + 7
Como os outros termos se anularam e só sobrou o 7, é ele mesmo que é o ponto onde o eixo y será interceptado.

Como última informação, toda vez que o termo a > 0, a parábola terá a concavidade virada para cima; quando for a < 0, será para baixo. No nosso caso, a > 0, então a concavidade ficou virada para cima mesmo.

Anexei o gráfico. Desculpe a falta de coordenação motora no paint rsrs