Question

Dada a função y = x²-4x-5, determine:
a) as raizes
b) as coordenadas do vértice

Answer 1

y = x² - 4x - 5

a) as raizes

As raizes são os valores que x devem assumir para y ser igual a 0, portanto:

x² - 4x -5 = 0

Por Bhaskara:

Δ = 16 - 4.1.(-5)

Δ = 16 + 20

Δ = 36

$\frac{4 \pm\sqrt{36} }{2}$

Temos que as raízes são 5 e -1

b) as coordenadas do vértice

O vértice é o ponto mais baixo ou mais alto da parábola representada por essa função. Como essa parábola tem concavidade para cima já que o x² é positivo, temos que encontrar o ponto mais baixo dela (x e y)

o x do vértice é o ponto médio das raízes (5 e -1) portanto:

$\frac{5 + (-1) }{2} = x_v$

$x_v = 2$

Agora vamos descobrir o y. Podemos descobrir ele substituindo o x do vértice que acabamos de descobrir na função.

y = x² -4x -5

y = 2² - 4(2) - 5

y = 4 - 8 - 5

y = -9

Portanto as coordenadas do vértice são: (2,-9)

Answer 2

Dada a função  y = x²-4x-5:

a) Raízes: 5 e -1.

b) Coordenadas do vértice: Xv = 2; Yv = 9

Para a obtenção das raízes da equação proposta, basta resolver, conhecendo as propriedades de uma equação de segundo grau.

É importante a compreensão que há dois tipos de equações: completas e as incompletas, que no caso desse exercício, é do tipo completa, por possuir todos os coeficientes.

Sabe-se que para uma função de segundo grau qualquer f(x) = ax² + bx +c.  As raízes da equação podem ser obtidas por meio da conhecida fórmula de Baskhara:

x = (- b ± √b²-4×a×c)/(2*a)

Pode-se inferir que a = 1; b = -4; c = -5

x = (-(-4) ± √(-4)²-4×1×-5)/(2*1)

x = 4 ± √36 / 2

x = 5 e x  = -1.

Para achar as coordenadas do vértice, basta substituir os valores correspondentes:

Xv = -b/2a

Yv = - (b²-4×a×c) / 4a

Portanto, temos que:

Xv = -(-4)/(2×1) = 4/2 = 2

Yv = - (-4²-(4×1×-5)) / 4 = 36/4 = 9

Para mais:

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