Question

Dada a função y= 9x^2 -8x - 1, determine os valores reais de x os quais se tem:
a) y=0
b)y>0
c)y<0

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Dada a equação do segundo grau $y=9x^2 -8x -1$, facilmente se verifica que é uma parábola com a concavidade voltada para cima pois o coeficiente em $x^2$ é positivo $9>0$.

a) Determinar os zeros da parábola.

Para determinar $y=0$ temos:

$9x^2 -8x -1=0 \\</p><p>x=\frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 -4 \times 9 \times (-1)}}{2\times 9} \\</p><p>x=\frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{18} \\</p><p>x=\frac{8 \pm \sqrt{100}}{18} \\</p><p>x=\frac{8 \pm 10}{18} \\</p><p>x=\frac{8 - 10}{18} \vee x=\frac{8 + 10}{18} \\</p><p>x=\frac{-2}{18} \vee x=\frac{18}{18} \\</p><p>x=\frac{-1}{9} \vee x=1</p><p>$

Então $y=0$ quando $x \in \left\{\frac{-1}{9}, 1 \right\}$.

b) $y>0$

Uma vez que a concavidade é voltada para cima, a função é positiva à esquerda do primeiro zero e à direita do segundo zero. Então,

$y>0$ se $x \in \left \]-\infty ,-\frac{1}{9} \right \[ \cup \left \]1, + \infty \right \[$.

b) $y<0$

Uma vez que a concavidade é voltada para cima, a função é negativa entre os zeros. Então,

$y<0$ se $x \in \left \]-\frac{1}{9} , 1 \right \[$.