Question

Dada a função vetorial f: R→R^2, com f(x)=(cos⁡〖x,sen x).〗 Determine:
a) O domínio e a imagem de f.
b) f(0)
c) lim┬(x→0)⁡ f(x)
d) f é contínua em 0 (zero)?

Answer 1

Temos a função $\vec{f}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ dada por $\vec{f}(x) = (\cos x, \sin x)$.

a) Tal como indicado, o domínio de $\vec{f}$ é $D = \mathbb{R}$.

Para determinar a imagem, recordamos a fórmula fundamental da trigonometria:

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1,$

donde a imagem é:

$\vec{f}(\mathbb{R}) = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 = 1\},$

isto é, corresponde à circunferência de raio unitário centrada na origem.

b) Para calcular $\vec{f}(0)$ basta substituir $x=0$:

$\vec{f}(0) = (\cos 0, \sin 0) = (1,0).$

c) Temos o limite tomado componente a componente:

$\lim\limits_{x \to 0}\vec{f}(x) = \left(\lim\limits_{x \to 0}\cos x, \lim\limits_{x \to 0}\sin x\right) = (\cos 0, \sin 0) = (1,0),$

onde se utilizou a continuidade das funções reais seno e cosseno.

d) Uma vez que $\lim\limits_{x \to 0} \vec{f}(x) = \vec{f}(0)$, fica provado que $\vec{f}$ é contínua em $x=0$.