Dada a função trigonométrica y = 3 - 2sen(x/2), responda:
a) O seu conjunto imagem
b) O seu Período
Soluções para a tarefa
Resposta: a)
Explicação passo-a-passo:
Oi! Eu vou tentar explicar sem parecer muito confuso
a) Para descobrir o seu conjunto imagem é necessário fazer um enquadramento -1 e 1 e resolver multiplicação/divisão em primeiro, depois soma/subtração.
1. Em primeiro lugar precisa por o sen(x/2) porque independentemente de tudo esse é o único que não altera nada. Assim fica sen(x/2) entre -1 e 1:
-1 ≤ sen (x/2)≤ 1
2. Agora tem de olhar para trás do sen(x/2) e ver se tem algum número multiplicado. Neste caso seria 2 pois é 2sen(x/2). Portanto, multiplica o meio do enquadramento por 2 e o -1 e 1 por 2 também: -1 ×2 ≤ 2sen (x/2)≤ 1×2 ⇔ -2 ≤ 2sen (x/2)≤ 2
3. Contudo se reparar atrás desse número tem um menos, por isso o 2 atrás do sen (x/2) foi multiplicado por -1. Assim, o sinal da inequação irá trocar e o sinal de cada um também, veja: -2 x (-1) ≥ (-1) x 2sen (x/2) ≥ 2 x (-1) ⇔ 2 ≥ -2sen (x/2) ≥ -2
Essa regra só é aplicada quando o nº é negativo, há regras que afirmam isso. Se atrás do dois fosse positivo os sinais não alteravam nem a inequação
4. Por último, aquele 3 é um nº que foi somado. Portanto a cada parcela irá somar 3: 2 + 3 ≥ 3 -2sen (x/2) ≥ -2 + 3 ⇔ 5 ≥ 3 -2sen (x/2) ≥ 1
Logo, apresentando em papel seria:
-1 ≤ sen (x/2)≤ 1 ⇔
⇔ -1 ×2 ≤ 2sen (x/2)≤ 1×2 ⇔
⇔ -2 ≤ 2sen (x/2)≤ 2 ⇔
⇔ -2 x (-1) ≥ (-1) x 2sen (x/2) ≥ 2 x (-1) ⇔
⇔ 2 ≥ -2sen (x/2) ≥ -2 ⇔
⇔ 2 + 3 ≥ 3 -2sen (x/2) ≥ -2 + 3 ⇔
⇔ 5 ≥ 3 -2sen (x/2) ≥ 1
E assim, o conjunto imagem é maior que 1 e menor que 5 logo [1,5]
b) Para descobrir o período tem que saber que uma função periódica só existe se f(x + P) = f(x)
Se você estudar e observar a função f(x) = sen tem período 2π, logo a função y = 3 - 2sen(x/2) você tem mesmo que substituir por aquela expressão acima:
f(x + P) = f(x) ⇔ 3 - 2sen((x+P)/2) = 3 - 2sen(x/2) ⇔ 3 - 3 - 2 sen (x/2 + P/2) = -2 sen (x/2) ⇔ -2 sen(x/2 + P/2) = -2 sen (x/2) ⇔ sen (x/2 + P/2) = sen (x/2) ⇔
x/2 + P/2 = x/2 + 2π ⇔ P/2 = 2π ⇔ P = 4π
O período é 4π
Vou dar um breve resumo do que fazer:
1- Substituir x por x+ P numa das expressões
2- Resolver a equação de forma a ficar sen(x/2) = sen ((x + P)/2)
3- Quando chegar ao ponto 2 igualar o que está no parenteses do primeiro com o que está no parênteses do segundo
4. Para além disso, deve adicionar 2π ao lado da equação que não tem P (por exemplo: x/2 + P/2 = x/2 + 2π)
5. Resolva a equação em ordem a P, é o que quer descobrir
6. O valor de P é o valor do período da função
Espero ter ajudado. Peço desculpa se não entender é que sou portuguesa e tenho algumas dificuldades em tentar explicar. Qualquer dúvida minhas mensagens estão liberadas.
Cuide-se, Bia
Resposta:
a)
imagem de sen(x/2) ==> [-1,1]
imagem 2 *sen(x/2) ==>[-2,2]
imagem de 3-2*sen(2x)
estamos lidando com extremos
3-(-2) =5
3-(2)=1