Question

Dada a função: $f(x) = | x - 1 |$
I) Determine $f ( 1^{-} )$ e $f( 1^{+} )$

$f( 1^{-} )= \lim_{h \to \ 1^{-} } f(x) = \\ \\ \\ f( 1^{+} )= \lim_{h \to \ 1^{+} } f(x)=$


II) A função $f$ é continua em x=1? Justifique sua resposta.

Answer 1

Vejamos a função dada:

$f(x)=|x-1|$


Por definição de módulo, podemos escrever

$f(x)=\left\{\! \begin{array}{rl} x-1,&\text{ se }x-1\ge 0\\\\ -(x-1),&\text{ se }x-1<0 \end{array} \right.\\\\\\\\ f(x)=\left\{\! \begin{array}{rl} x-1,&\text{ se }x\ge 1\\\\ 1-x,&\text{ se }x< 1 \end{array} \right.\qquad\quad\mathbf{(i)}$

_________

Calculando os limites laterais:

•   Calculando o limite à esquerda     (por valores menores que 1)

$\begin{array}{rcl} f(1^-)&\!\!=\!\!&\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)\\\\ &\!\!=\!\!&\lim\limits_{x\to 1^-}(1-x)\\\\ &\!\!=\!\!&1-1\\\\ &\!\!=\!\!&0\qquad\mathbf{(ii)} \end{array}$


•   Calculando o limite à direita     (por valores maiores que 1)

$\begin{array}{rcl} f(1^+)&\!\!=\!\!&\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)\\\\ &\!\!=\!\!&\lim\limits_{x\to 1^+}(x-1)\\\\ &\!\!=\!\!&1-1\\\\ &\!\!=\!\!&0\qquad\mathbf{(iii)} \end{array}$


•   Como 1 está do domínio de $f,$ podemos computar o valor de $f(1),$

(usando a primeira sentença de $\mathbf{(i)}$)

$f(1)=1-1\\\\ f(1)=0\qquad\mathbf{(iv)}$

_________

A função $f$ é contínua em $x = 1,$ porque

$f(1)=\lim\limits_{x\to 1^-} f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$


Caso tenha problemas para visualizar a resposta, experimente abrir pelo navegador: http://brainly.com.br/tarefa/7547933


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)