Question

Dada a função $f(x)=\frac{x-2}{x+2}$
encontre a equação da reta tangente no ponto = 4.

Answer 1

Olá, boa noite.

A equação da reta tangente a uma curva que é o gráfico da função $f(x)$, contínua e derivável em ponto $x=p$, no ponto $(p,~f(p))$, é dada por: $y=f(p)+f'(p)\cdot (x-p)$.

Primeiro, calculamos o valor da função no ponto $x=4$:

$f(4)=\dfrac{4-2}{4+2}\\\\\\ f(4)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

Então, derivamos a função:

$(f(x))'=\left(\dfrac{x-2}{x+2}\right)'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma função racional é calculada pela regra do quociente: dadas $f,~g$ contínuas e deriváveis e $g(x)\neq0$. $\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$.
• A derivada é um operador linear, logo vale que: $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$ e $(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra do quociente

$f'(x)=\dfrac{(x-2)'\cdot(x+2)-(x-2)\cdot(x+2)'}{(x+2)^2}$

Aplique a linearidade

$f'(x)=\dfrac{[(x)'-(2)']\cdot(x+2)-(x-2)\cdot[(x)'+(2)']}{(x+2)^2}\\\\\\ f'(x)=\dfrac{[(x)'-2\cdot(1)']\cdot(x+2)-(x-2)\cdot[(x)'+2\cdot(1)']}{(x+2)^2}$

Aplique a regra da potência, sabendo que $x=x^1$ e $1=x^0$

$f'(x)=\dfrac{[1\cdot x^{1-1}-2\cdot0\cdot x^{0-1}]\cdot(x+2)-(x-2)\cdot[1\cdot x^{1-1}+2\cdot0\cdot x^{0-1}]}{(x+2)^2}$

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos

$f'(x)=\dfrac{1\cdot(x+2)-(x-2)\cdot1}{(x+2)^2}\\\\\\ f'(x)=\dfrac{x+2-x+2}{(x+2)^2} \\\\\\ f'(x)=\dfrac{4}{(x+2)^2}$

Calculando o valor da derivada desta função no ponto $x=4$, temos:

$f'(4)=\dfrac{4}{(4+2)^2}\\\\\\ f'(4)=\dfrac{4}{6^2}\\\\\\ f'(4)=\dfrac{4}{36}\\\\\\ f'(4)=\dfrac{1}{9}$

Substituindo estes resultados na equação da reta tangente, temos:

$y=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}\cdot(x-4)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos semelhantes

$y=\dfrac{1}{3}+\dfrac{x}{9}-\dfrac{4}{9}\\\\\\ y=\dfrac{x}{9}-\dfrac{1}{9}$

Subtraia $y$ em ambos os lados da equação e multiplique ambos os lados da igualdade por $9$

$\dfrac{x}{9}-y-\dfrac{1}{9}=0\\\\\\ \boxed{x-9y-1=0}$

Esta é a equação da reta tangente a esta curva neste ponto.