Question

Dada a função , temos que :

Escolha uma:
f(1)=1
f(2) = 1
A função é continua em x = 1
Não existe o limite quando x tende a 1.
f(0)=0

Answer 1

Se tratando de limites, precisamos lembrar de algumas relações.

Para o limite de uma função exista em determinado ponto, os limites laterias devem ser iguais, ou seja, se :

$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L$

$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L$

sendo assim, existe :

 $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$  

Continuidade de uma função.

• Como saber se uma função é continua em determinado ponto ?

relembrando continuidade :

Uma função é contínua em x = a se :

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$  

Sabendo disso, vamos para a nossa questão .

Nossa questão :

1º

f(1) = 1. ( Falso)

A questão informa que f(x) para x = 1 vale -1.

2º

f(2) = 1.

Podemos usar a f(x) para x>1 , já que 2 é maior que 1.

Se fizermos isso vamos achar :

$f(x) = 3-x$

x = 2

$3 - 2 = 1$.

Porém, não podemos afirmar isso. A função está definida para x>1, mas não sabemos se está definida para x = 2.

Para afirmar isso, teríamos que fazer o teste da função contínua, ou seja :

$\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$  

Porém, para que o $\lim_{x \to 2} f(x)$ exista, os limites laterias devem ser iguais, ou seja :

$\lim_{x \to 2^-}f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x)$  

e aqui está o problema, em $(2^-)$..  a função nem está definida para x< 2, logo não podemos afirmar nada.

Item falso.

3º

A função é contínua em x = 1.

para que uma função seja contínua precisamos ter o seguinte :

Vamos fazer o teste da continuidade.

$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$

Porém não sabemos se $\lim_{n \to 1} f(x)$ existe, precisamos saber se os limites laterais são iguais. Então vamos testá-los

$\lim_{x \to 1^-}f(x) = \lim_{x \to1^+}f(x)$

$\lim_{x \to 1^-} x^2-4 = \lim_{x \to 1^+} 3-x$  

$1^2 - 4 = 3-1$

$-3 = 3$ ( Absurdo )  

Se o limite em x tendendo a 1 nem existe, logo também não é contínua em x=1.

Item falso

4º

Acabamos de ver que os limites laterais são diferentes, logo não existe limite quando x tende a 1, mas por motivo de Doutrina vamos deixar a prova.

Teste dos limites lateais:

$\lim_{x \to 1^-}f(x) = \lim_{x \to1^+}f(x)$

$\lim_{x \to 1^-} x^2-4 = \lim_{x \to 1^+} 3-x$  

$1^2 - 4 = 3-1$

$-3 = 3$ ( Absurdo )

Então está provado que o limite não existe quando x tende a 1.

(já pode marcar essa alternativa)

5º

f(0)=0

. Mesma ideia, a função não está definida em x = 0.

Ao fazer o teste da continuidade chegaremos na mesma ideia do item 2º. Portanto. ( vou deixar esse para você treinar)

Item falso

observação :

( O limite não existir quando x tende a 1, não significa que os limites laterais não existam )

Qualquer dúvida é só falar. Bons estudos.