Question

Dada a função racional f. Calcule a integral *
(1 Ponto)
$f(x) = \frac{x - 5}{x + 4}$

A) X - 9 In(x - 5) + c
B) X + 5 – 9 In(x + 5) + c
C) 5 (X + 4) - 5 In(X + 4) + C
D) x + 4 – 9 In(x + 4) + c​

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \frac{x - 5}{x - 4}$

Aplicando a integral:

$\int f(x) = \int \frac{x - 5}{x + 4} dx \longrightarrow F(x) +k_1 = \int \frac{x - 5}{x + 4} dx$

Vamos resolver aquela integral pelo método da substituição, então digamos que:

$u = x + 4\longrightarrow \frac{du}{dx} = 1 \longrightarrow du = dx$

Substituindo essa informações:

$F(x) +k_1 = \int \frac{x - 5}{x + 4} dx \\ \\ F(x) +k_1 = \int \frac{x - 5}{u} du$

Só que "x" pode ser escrito em função de "u", para isso basta observar a expressão usada na derivação ali em cima, então:

$u = x + 4 \longrightarrow x = u - 4$

Substituindo essa nova expressão para "x":

$F(x) +k_1 = \int \frac{u - 4 - 5}{u}du \\ \\ F(x) +k_1 = \int \frac{u - 9}{u} du \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ F(x) +k_1 = \int \left(\frac{u}{u} - \frac{9}{u} \right)du \\ \\ F(x) +k_1 = \int \frac{u}{u}du - \int \frac{9}{u} du \\ \\ F(x) +k_1 = \int 1du -9 \int \frac{1}{u} du$

Aplicando a regra da potência na primeira integral e a integral imediata na segunda:

$F(x) +k_1 = u + k_{2} - 9 \ln( |u| ) + k_{3} \\ \\ F(x) = u - 9 \ln( |u|) - \underbrace{ k_{1} + k_{2} + k_{3} }_{k} \\ F(x) = u - 9 \ln( |u| ) + k \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Repondo a função que caracteriza "u":

$\boxed{F(x) = x + 4 - 9 \ln( |x + 4| ) + k}$

Espero ter ajudado