Question

dada a função quadrática f(x) = x^2 - 1, determine os valores reais de x tal que 1 < f(x) menor ou igual a 3.
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Answer 1

Resposta:

$S = [-2, -\sqrt{2})$ ∪ $(\sqrt{2}, 2]$

ou, se preferir:

x = {x ∈ R / -2 ≤ x < -√2 ou √2 < x ≤ 2}

Explicação passo-a-passo:

Basta apenas resolver as inequações nos intervalos que a questão quer.

Interpretando essa parte do enunciado "determine os valores reais de x tal que 1 < f(x) <= 3"; o enunciado pergunta: "quais valores de x eu coloco na função f(x) = x^2 - 1 que me gera f(x) entre 1 e 3 inclusive?". Observação: f(x) é a imagem, ou seja, quais valores de x que eu coloco na função que me retorna imagem entre 1 e 3 inclusive?

Pegando a primeira inequação:

$1 < x^{2} -1$

Reescrevendo:

$x^{2} - 1 > 1$

Agora basta resolver:

$x^2 - 1 > 1\\x^2 > 1 + 1\\x^2 > 2\\x > +-\sqrt{2}$

Isso implica dizer que:

$x < -\sqrt{2}$ ou $x > \sqrt{2}$

Resolver a segunda inequação:

$x^2 - 1 \leq 3\\x^2 \leq 3 + 1\\x^2 \leq 4\\x \leq \sqrt{4}\\x \leq +-2$

Isso implica dizer que:

$-2\leq x\leq 2$

De posse dos resultados das inequações, temos que fazer a intersecção entre os resultados, pois o x tem que ser tanto > 1, quanto menor ou igual a 3: