. Dada a função quadrática f abaixo, esboce o gráfico da função, faça a análise da concavidade da parábola, demonstre a interseção com o eixo y, demonstre os zeros da função (se existir), defina as coordenadas do vértice e indique se a função possui ponto de máximo ou ponto de mínimo:
f(x)=x²-4x+3
explicação passo-a-passo pls
Soluções para a tarefa
Resposta:
Para f(x) = x² - 4x + 3, temos que: as raízes são 1 e 3; o vértice e o ponto de mínimo são (2,-1); a imagem é [-1,∞); é crescente quando x > 2 e decrescente quando x < 2. Para f(x) = -x² + 12x + k ter duas raízes iguais, então k = -36.
1. Para calcular as raízes da função f(x) = x² - 4x + 3, vamos igualá-la a 0:
x² - 4x + 3 = 0.
Utilizando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação do segundo grau acima:
Δ = (-4)² - 4.1.3
Δ = 16 - 12
Δ = 4
x=\frac{4+-\sqrt{4}}{2}x=
2
4+−
4
x=\frac{4+-2}{2}x=
2
4+−2
x'=\frac{4+2}{2}=3x
′
=
2
4+2
=3
x''=\frac{4-2}{2}=1x
′′
=
2
4−2
=1 .
As raízes são 1 e 3.
b) O vértice da parábola é denominado por V=(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})V=(−
2a
b
,−
4a
Δ
) .
Portanto,
V=(\frac{4}{2},-\frac{4}{4})V=(
2
4
,−
4
4
)
V = (2,-1).
c) O gráfico da função está anexado abaixo.
d) Como a concavidade da parábola é para cima, então a função admite valor mínimo, que é o vértice V = (2,-1).
e) A imagem da função é igual a [-1,∞).
Pelo gráfico, temos que:
f) a função é crescente quando x > 2;
g) é decrescente quando x < 2.
2. Para a função f(x) = -x² + 12x + k ter duas raízes reais iguais, então o valor de delta deverá ser 0:
Δ = 12² - 4.(-1).k
Δ = 144 + 4k.
Portanto,
144 + 4k = 0
k = -36.