Dada a função quadrática abaixo, determine:
f(x) = -x2 + 6x - 9
a. Se a concavidade da parábola definida pela função é voltada para baixou para cima.
b. O zeros da função.
c. O vértice da parábola definida pela função.
d. A intersecção com o eixo x.
e. A intersecção com o eixo y.
f. O eixo de simetria.
g. Imagem de f Im(f).
h. Esboço do gráfico
Soluções para a tarefa
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54
Vamos lá.
Veja, Betany, que a resolução é simples.
Tem-se a seguinte equação do 2º grau, sobre a qual são pedidas várias informações:
f(x) = - x² + 6x - 9 .
Agora vamos tentar responder tudo passo a passo a cada uma das questões propostas.
a) Determinar a concavidade da parábola da função dada acima.
Veja: como o termo "a" é negativo (o termo "a' é o coeficiente de x²), então a concavidade da parábola (que é o gráfico de uma função do 2º grau) será voltada pra baixo e, assim, terá um ponto de máximo. (Observação: se o termo "a' fosse positivo, então a parábola teria a concavidade voltada pra cima e, assim, teria um ponto de mínimo).
b) Determinar os zeros da função.
Veja quando se fala em "zeros" de uma função significa as raízes dessa função. Para isso, vamos igualar f(x) a zero (por isso é que se diz: encontrar os zeros da função, que significa encontrar suas raízes). Assim, fazendo f(x) = 0, teremos:
-x² + 6x - 9 = 0 ---- vamos aplicar Bháskara, cuja fórmula é esta;
x = [-b ± √(Δ)]/2a ---- note que os coeficientes bem como o Δ da função da sua questão são estes: a = - 1 (é o coeficiente de x²); b = 6 (é o coeficiente de x); c = -9 (é o coeficiente do termo independente);
Δ = b² - 4ac = 6² - 4*(-1)*(-9) = 36 - 36 = 0.
Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara acima, temos;
x = [-6 ± √(0)]/2*(-1)
x = [- 6 ± √(0)]/-2 ----- como √(0) = 0, teremos:
x = (-6 ± 0)/-2 ---- daqui você conclui que:
x' = x'' = -6/-2 = 3 <--- Esta é a raiz da função dada. Ou seja, a função tem uma raiz dupla e igual a "3" (em outras palavras, a função tem duas raízes reais, mas ambas iguais a "3").
c) Determinar o vértice da parábola determinada pela função.
Veja que o vértice de uma equação do 2º grau é dado pelo "x" do vértice (xv) e pelo "y" do vértice (yv), ou seja, é dado pelo ponto (xv; yv). E cada um deles são calculados assim:
xv = -b/2a ----- substituindo-se "b" por "6" e "a' por "-1", teremos;
xv = -6/2*(-1)
xv = -6/-2
xv = 3 <--- Este é o "x" do vértice.
yv = -Δ/4a ---- como já vimos que o delta (Δ) é zero, então teremos:
yv = -0/4*(-1)
yv = 0/-4
yv = 0 <--- Este é o "y" do vértice.
Assim, o ponto do vértice (xv; yv) será o ponto (3; 0)
d) Determina a intersecção da parábola com o eixo "x".
Veja: como a função tem uma raiz dupla (x' = x'' = 3), então o gráfico da função terá um ponto de máximo em x = 3.E o gráfico tangenciará esse ponto, ou seja, o gráfico tangenciará o ponto x = 3.
e) Determine a intersecção da parábola com o eixo "y".
Veja: para isso basta você ir na função [f(x) = - x²+6x-9] e fazer x = 0. Assim, fazendo isso, teremos:
f(0) = -0² + 6*0 - 9
f(0) = 0 + 0 - 9
f(0) = - 9 <--- Este é o ponto em que a parábola cortará o eixo dos "y", ou seja, cortará o eixo dos "y" em y = - 9.
f) Determine o eixo de simetria.
Veja: o eixo de simetria sempre é dado pelo "x" do vértice (xv). Assim, como já vimos que xv = 3, então o eixo de simetria será igual a "3".
g) Determine o conjunto-imagem de f(x).
Veja: o conjunto-imagem de qualquer equação do 2º grau será dado pelo "y" do vértice (yv). Em outras palavras, o conjunto-imagem de uma equação do 2º grau sempre será maior ou menor que o "yv". Seria maior que "yv" se a parábola tivesse a concavidade voltada pra cima; e será menor que "yv" se a concavidade do gráfico for voltada pra baixo.
Como a parábola da equação da sua questão tem a concavidade voltada pra baixo, então o conjunto-imagem será menor ou igual que "yv". E como já vimos que yv = 0, então o conjunto-imagem será:
Im = f(x) ≤ 0
g) Faça o esboço do gráfico da função.
Veja: como aqui no Brainly eu não sei construir gráficos, então veja o gráfico da função no endereço abaixo e constate tudo o que dissemos sobre ela em toda a resolução acima. Veja lá.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+-+x%C2%B2+%2B+6x+-+9
Obs: fixe-se no primeiro gráfico, pois, por ter uma escala maior, fica melhor de ver.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Veja, Betany, que a resolução é simples.
Tem-se a seguinte equação do 2º grau, sobre a qual são pedidas várias informações:
f(x) = - x² + 6x - 9 .
Agora vamos tentar responder tudo passo a passo a cada uma das questões propostas.
a) Determinar a concavidade da parábola da função dada acima.
Veja: como o termo "a" é negativo (o termo "a' é o coeficiente de x²), então a concavidade da parábola (que é o gráfico de uma função do 2º grau) será voltada pra baixo e, assim, terá um ponto de máximo. (Observação: se o termo "a' fosse positivo, então a parábola teria a concavidade voltada pra cima e, assim, teria um ponto de mínimo).
b) Determinar os zeros da função.
Veja quando se fala em "zeros" de uma função significa as raízes dessa função. Para isso, vamos igualar f(x) a zero (por isso é que se diz: encontrar os zeros da função, que significa encontrar suas raízes). Assim, fazendo f(x) = 0, teremos:
-x² + 6x - 9 = 0 ---- vamos aplicar Bháskara, cuja fórmula é esta;
x = [-b ± √(Δ)]/2a ---- note que os coeficientes bem como o Δ da função da sua questão são estes: a = - 1 (é o coeficiente de x²); b = 6 (é o coeficiente de x); c = -9 (é o coeficiente do termo independente);
Δ = b² - 4ac = 6² - 4*(-1)*(-9) = 36 - 36 = 0.
Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara acima, temos;
x = [-6 ± √(0)]/2*(-1)
x = [- 6 ± √(0)]/-2 ----- como √(0) = 0, teremos:
x = (-6 ± 0)/-2 ---- daqui você conclui que:
x' = x'' = -6/-2 = 3 <--- Esta é a raiz da função dada. Ou seja, a função tem uma raiz dupla e igual a "3" (em outras palavras, a função tem duas raízes reais, mas ambas iguais a "3").
c) Determinar o vértice da parábola determinada pela função.
Veja que o vértice de uma equação do 2º grau é dado pelo "x" do vértice (xv) e pelo "y" do vértice (yv), ou seja, é dado pelo ponto (xv; yv). E cada um deles são calculados assim:
xv = -b/2a ----- substituindo-se "b" por "6" e "a' por "-1", teremos;
xv = -6/2*(-1)
xv = -6/-2
xv = 3 <--- Este é o "x" do vértice.
yv = -Δ/4a ---- como já vimos que o delta (Δ) é zero, então teremos:
yv = -0/4*(-1)
yv = 0/-4
yv = 0 <--- Este é o "y" do vértice.
Assim, o ponto do vértice (xv; yv) será o ponto (3; 0)
d) Determina a intersecção da parábola com o eixo "x".
Veja: como a função tem uma raiz dupla (x' = x'' = 3), então o gráfico da função terá um ponto de máximo em x = 3.E o gráfico tangenciará esse ponto, ou seja, o gráfico tangenciará o ponto x = 3.
e) Determine a intersecção da parábola com o eixo "y".
Veja: para isso basta você ir na função [f(x) = - x²+6x-9] e fazer x = 0. Assim, fazendo isso, teremos:
f(0) = -0² + 6*0 - 9
f(0) = 0 + 0 - 9
f(0) = - 9 <--- Este é o ponto em que a parábola cortará o eixo dos "y", ou seja, cortará o eixo dos "y" em y = - 9.
f) Determine o eixo de simetria.
Veja: o eixo de simetria sempre é dado pelo "x" do vértice (xv). Assim, como já vimos que xv = 3, então o eixo de simetria será igual a "3".
g) Determine o conjunto-imagem de f(x).
Veja: o conjunto-imagem de qualquer equação do 2º grau será dado pelo "y" do vértice (yv). Em outras palavras, o conjunto-imagem de uma equação do 2º grau sempre será maior ou menor que o "yv". Seria maior que "yv" se a parábola tivesse a concavidade voltada pra cima; e será menor que "yv" se a concavidade do gráfico for voltada pra baixo.
Como a parábola da equação da sua questão tem a concavidade voltada pra baixo, então o conjunto-imagem será menor ou igual que "yv". E como já vimos que yv = 0, então o conjunto-imagem será:
Im = f(x) ≤ 0
g) Faça o esboço do gráfico da função.
Veja: como aqui no Brainly eu não sei construir gráficos, então veja o gráfico da função no endereço abaixo e constate tudo o que dissemos sobre ela em toda a resolução acima. Veja lá.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+-+x%C2%B2+%2B+6x+-+9
Obs: fixe-se no primeiro gráfico, pois, por ter uma escala maior, fica melhor de ver.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
adjemir:
Disponha, Betany, e bastante sucesso pra você. Um cordial abraço.
Agradecemos à moderadora Meurilly pela aprovação da nossa resposta. Um cordial abraço.
Betany, obrigado pela melhor resposta. Continue a dispor e um cordial abraço.
Disponha, Amylexy. Um abraço.
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