Question

Dada a função no tempo F(t) = 2 . t³ . exp(-1 . t), determine a sua transformada de laplace.



12/(s + 1)^4


16/(s + 9)^4


8/(s + -5)^4


6/(s + 0)^4


60/(s + 2)^4

Answer 1

Sendo $F$ a função dada por $F(t)= 2t^3e^{-t}$, a sua transformada de Laplace $L = \mathcal{L} F$ é:

$\displaystyle g(s) = \int\limits_0^\infty F(t) e^{-st}\textrm{ d}t = \int\limits_0^\infty 2t^3e^{-t}e^{-st}\textrm{ d}t=2\int\limits_0^\infty t^3e^{-(s+1)t}\textrm{ d}t.$

Podemos calcular o integral por partes. No entanto, um método mais simples é definir $\alpha \equiv -(1+s)$ e notar que a integranda pode ser escrita na forma:

$\displaystyle t^3e^{-(s+1)t} = t^3e^{\alpha t} =\dfrac{\partial^3}{\partial\alpha^3}e^{\alpha t}.$

Passando a derivada para fora do integral, obtemos:

$\displaystyle 2\int\limits_0^\infty t^3e^{\alpha t}\textrm{ d}t = 2\int\limits_0^\infty \dfrac{\partial^3}{\partial\alpha^3}e^{\alpha t}\textrm{ d}t = 2\dfrac{\textrm{d}^3}{\textrm{d}\alpha^3}\int\limits_0^\infty e^{\alpha t}\textrm{ d}t.$

O integral agora é simples:

$\displaystyle\int\limits_0^\infty e^{\alpha t}\textrm{ d}t = \dfrac{e^{\alpha t}}{\alpha}\Big\vert_0^\infty = 0-\dfrac{1}{\alpha} = \dfrac{1}{s+1},$

desde que $\textrm{Re } s > -1$.

Derivando agora sucessivamente três vezes em ordem a $\alpha$, vem:

$\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}\alpha} \left(-\dfrac{1}{\alpha} \right) = \dfrac{1}{\alpha^2}$

$\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}\alpha} \left(\dfrac{1}{\alpha^2} \right) = -\dfrac{2}{\alpha^3}$

$\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}\alpha} \left(-\dfrac{2}{\alpha^3} \right) = \dfrac{2\times 3}{\alpha^4} = \dfrac{6}{\alpha^4}$

Portanto, a transformada fica:

$L(s) = 2\times\dfrac{6}{\alpha^4} = \dfrac{12}{(s+1)^4}.$

Este resultado está usualmente registado em tabelas de transformadas:

$\mathcal{L}\{t^ne^{at}\}(s) = \dfrac{n!}{(s-a)^{n+1}}, \quad\textrm{com Re }s > a, a \in \mathbb{R},$

tomando $n = 3$ e $a = -1$.