Question

Dada a função horária do espaço S = 8 – 12t + 2t² (SI). Determine:
a) O espaço inicial, a velocidade escalar inicial e a aceleração escalar do movimento.


b) A função horária da velocidade para esse movimento.

c) Em que instante o móvel muda de sentido.

Answer 1

a) A função da posição de uma partícula no espaço ao longo do tempo tem fórmula genérica $S(t) = So + vt + \frac{at^2}{2}$, com So sendo o espaço inicial, v sendo a velocidade e a sendo a aceleração.

Como esses termos são todos coeficientes do tempo, fica fácil perceber que, na função do exercício, o espaço inicial é 8, a velocidade escalar inicial é -12 e a aceleração escalar é 2.

b) A velocidade ao longo do tempo tem fórmula genérica $v(t) = v_o + at$. Como a velocidade inicial e a aceleração nos são conhecidas, temos $v(t) = -12 + 2t$.

c) Se você traçar o gráfico da parábola para este movimento, verá que o móvel parte de 8 metros se deslocando em direção a valores negativos no eixo das ordenadas. Ele só muda de direção, passando a se deslocar em positivamente nas ordenadas, a partir do vértice da parábola. Para descobrir esse instante, basta substituir S por 0:

$0 = 8 - 12t + 2t^2\\\\t = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4\times2\times8}}{2\times2}\\\\t = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 64}}{4}\\\\t = \frac{12 \pm \sqrt{80}}{4}\\\\t_1 = \frac{12 + 4\sqrt{5}}{4} = 3 + \sqrt{5}\\\\t_2 = \frac{12 - 4\sqrt{5}}{4} = 3 - \sqrt{5}$

Temos dois instantes em que o móvel chega à origem. O vértice de uma parábola pode ser determinado pela média dos instantes em que o seu gráfico passa pelas abscissas. Isso quer dizer que o instante desejado é:

$\frac{t_1 + t_2}{2} = \frac{3 + \sqrt5 + 3 - \sqrt5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Portanto, o móvel muda de sentido aos 3 segundos.