Question

Dada a função g(x) = √x - 1/x-1, desenvolva e determine o $\lim_{g(x) \to \a_1.$

Em seguida, assinale a alternativa CORRETA que representa o resultado encontrado.

a) $\frac{1}{2}$

b) 1

c) não existe

d) 2

e) $-\frac{1}{2}$

Answer 1

Olá

Alternativa correta, letra A)

$\displaystyle \lim_{x \to 1} ~ \frac{ \sqrt{x} -1}{x-1} \\ \\ \\ \text{Temos que tirar a raiz quadrada do numerador, para isso, temos que} \\ \text{multiplicar pelo conjugado.} \\ \\ \\ \lim_{x \to 1} ~ \frac{ \sqrt{x} -1}{x-1}~\cdot~ \frac{ \sqrt{x} +1}{ \sqrt{x} +1} \\ \\ \\ \lim_{x \to 1} ~ \frac{ (\sqrt{x})^2 -(1)^2}{(x-1)\cdot( \sqrt{x} +1)} \\ \\ \\ \text{Cancela a raiz com o expoente}$

$\displaystyle\lim_{x \to 1} ~ \frac{ x -1}{(x-1)\cdot( \sqrt{x} +1)} \\ \\ \\ \text{Podemos simplificar os termos em comum (x-1)} \\ \\ \\ \lim_{x \to 1} ~\frac{\diagup\!\!\!\! x -\diagup\!\!\!\!1}{\diagup\!\!\!\!\!\!(x-\diagup\!\!\!\!1)\cdot( \sqrt{x} +1)} \\ \\ \\ \lim_{x \to 1} ~ \frac{ 1}{ \sqrt{x} +1} ~= ~ \frac{1}{ \sqrt{1} +1} ~=~ \frac{1}{1+1} ~\boxed{= ~ \frac{1}{2} }$