Question

Dada a função fpor f(x) = 3x –2, calcular f-1(4).-calcular a função inversa de f;-calcular o valor numérico solicitado.

Answer 1

Sabemos que para que haja inversa, a função deverá ser bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Como não há qualquer restrição, o domínio será o maior conjunto onde a função está definida que, nesse caso, é o conjunto dos Reais.

Da mesma forma, como não houve qualquer restrição ao contradomínio e dado que a imagem de f(x) é conjunto dos Reais, então o contradomínio é, também, o conjunto dos Reais. Com isso, podemos concluir que a função é sobrejetora, pois o conjunto do contradomínio é igual ao conjunto imagem.

Embora não se vá mostrar aqui, não é difícil de ver que a f(x) "leva" cada elemento "x" do domínio a um elemento diferente no contradomínio, ou seja, a função é injetora.

Dito isso, podemos então dizer que a função possui uma inversa, resta determina-la e calcular o que é pedido.

Para determinarmos a função inversa, vamos seguir dois passos: Trocar *y  por x na função e vice-versa e isolar a variável "y".

$\sf * Lembre~ que~ y=f(x), ~ou~seja,~ y=3x-2$

$\sf 1.~\underline{Trocar~ x~ por~y}:\\\\~~~~~~x~=~3y~-~2\\\\2.~\underline{Isolar~y}:\\\\~~~~-3y~=\,-2-x\\\\~~~~~~3y~=~x+2\\\\~~~~~~\boxed{\sf y~=~\dfrac{x+2}{3}}~~~~ou~~~\boxed{\sf f^{-1}(x)~=~\dfrac{x+2}{3}}$

Determinada a inversa, vamos calcular o valor de f⁻¹(4) substituindo "x" por 4 na função:

$\sf f^{-1}(4)~=~\dfrac{4+2}{3}\\\\\\f^{-1}(4)~=~\dfrac{6}{3}\\\\\\\boxed{\sf f^{-1}(4)~=~2}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$