Question

Dada a função f(z)=e^iz-e^-iz, ao calcularmos o valor de ƒ'(1), ou seja, a derivada da função aplicada na unidade imaginária, encontramos.
A) f'(i) = -2,81i
B) f'(i) = 3,08i
C) f'(i) = 2,35
D) f'(i) = 3,08

Answer 1

Resposta: B) f'(i) = 3,08i

 

Vamos lá. Segundo a fórmula de Euler:

 

$e^{iz}=cos(z)+isen(z)$

 

Logo:

 

$e^{-iz}=cos(z)-isen(z)$

 

Então reecreva a função:

 

$f(z)=e^{iz}-e^{-iz}$

$f(z)=[cos(z)+isen(z)]-[cos(z)-isen(z)]$

$f(z)=cos(z)+isen(z)-cos(z)+isen(z)$

$f(z)=2isen(z)$

 

Derivando-a em relação a z:

 

$f'(z)=[2isen(z)]'$

$f'(z)=2i\cdot[sen(z)]'$

$f'(z)=2i\cdot cos(z)$

Para $z=i$ :

$f'(i)=2i\cdot cos(i)$

 

O cosseno de um complexo é dado por:

• $cos(a+bi)=cos(a)cosh(b)-isen(a)sen(b)$

Então:

 

$f'(i)=2i\cdot cos(0+1i)$

$f'(i)=2i\cdot cos(0)cosh(1)-isen(0)senh(1)$

$f'(i)=2i\cdot 1\cdot cosh(1)-i\cdot0\cdot senh(1)$

$f'(i)=2i\cdot cosh(1)-0$

$f'(i)=2i\cdot cosh(1)$

 

O cosseno hiperbólico é dado por:

• $cosh(\theta)=\frac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}$

Logo:

 

$f'(i)=2i\cdot \frac{e^{1}+e^{-1}}{2}$

$f'(i)=2i\cdot \frac{e+e^{-1}}{2}$

$f'(i)=2i\cdot \big(\frac{e}{2}+\frac{1}{2e}\big)$

Como $e\approx 2,\!71$ :

$f'(i)=2i\cdot \big(\frac{2,71}{2}+\frac{1}{2\cdot2,71}\big)$

$f'(i)=2i\cdot \big(1,\!355+\frac{1}{5,42}\big)$

$f'(i)=2i\cdot(1,\!355+0,\!1845)$

$f'(i)=2i\cdot1,\!5395$

$f'(i)=3.08i$

 

Letra B