Matemática, perguntado por duartedark, 8 meses atrás

Dada a função f(x,y)=xy^2 . Podemos afirmar que a sua derivada direcional no ponto (3, -2) e na direção do vetor u=(4,3) é:

Soluções para a tarefa

Respondido por SubGui

Olá, boa tarde.

Para calcularmos o valor da derivada direcional de uma função em um ponto pertencente ao seu gráfico na direção de um vetor, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

A derivada direcional em um ponto $(x_0,~y_0)$ , na direção de um vetor $\overrightarrow u$ é dada por:

$D_{\overrightarrow u}f=\overrightarrow{\nabla} f(x_0,~y_0)\cdot\^u$ , em que $\overrightarrow{\nabla} f(x_0,~y_0)$ é o vetor gradiente desta função no ponto e $\^u=\dfrac{\overrightarrow u}{|\overrightarrow u|}$ denota o versor de $\overrightarrow u$ .

O vetor gradiente da função é dado por: $\overrightarrow{\nabla} f=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},~\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)$ .

Então, seja a função $f(x,~y)=xy^2$ . Calcule as derivadas parciais da função:

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial }{\partial x}(xy^2)\\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial }{\partial y}(xy^2)$

Lembre-se que:

A derivada parcial de uma função de duas ou mais variáveis, em respeito a uma das variáveis, é calculada normalmente ao considerar as variáveis restantes como constantes.
A derivada do produto entre uma constante e uma função é dada por: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$ .
A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ .

Aplique a regra do produto em cada caso

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=y^2\cdot\dfrac{\partial }{\partial x}(x)\\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=x\cdot\dfrac{\partial }{\partial y}(y^2)$

Aplique a regra da potência e multiplique os termos

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=y^2\\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=2xy$

Dessa forma, o vetor gradiente desta função é dado por: $\overrightarrow\nabla f=(y^2,~2xy)$

Calcule o valor do vetor gradiente no ponto $(3,\,-2)$ :

$\overrightarrow\nabla f(3,\,-2)=((-2)^2,~2\cdot3\cdot(-2))\\\\\\\ \overrightarrow\nabla f(3,\,-2)=(4,\,-12)$

Então, calculamos o versor do vetor $\overrightarrow u$ . Lembre-se que o módulo de um vetor $\overrightarrow u=\left<a,~b\right>$ é calculado por: $|\overrightarrow u|=\sqrt{a^2+b^2}$ .

$\^u=\dfrac{(4,~3)}{\sqrt{4^2+3^2}}$

Calcule as potências e some os valores

$\^u=\dfrac{(4,~3)}{\sqrt{16+9}}\\\\\\\ \^u=\dfrac{(4,~3)}{\sqrt{25}}$

Calcule o radical e o produto entre a constante e o vetor

$\^u=\dfrac{(4,~3)}{5}\\\\\\\ \^u=\left(\dfrac{4}{5},~\dfrac{3}{5}\right)$

Por fim, substitua os resultados na fórmula da derivada direcional:

$D_{\overrightarrow u}f=(4,\,-12)\cdot\left(\dfrac{4}{5},~\dfrac{3}{5}\right)$

Calcule o produto escalar, dado pela soma do produto entre os elementos respectivos dos dois vetores:

$D_{\overrightarrow u}f=4\cdot\dfrac{4}{5}+(-12)\cdot\dfrac{3}{5}$

Multiplique os valores

$D_{\overrightarrow u}f=\dfrac{16}{5}-\dfrac{36}{5}$

Some os valores e simplifique a fração

$D_{\overrightarrow u}f=-\dfrac{20}{5}\\\\\\\ D_{\overrightarrow u}f=-4$

Este é o valor que buscávamos.

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a derivada direcional da referida função polinomial a partir do ponto "P" na direção do versor de "u" é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf D_{\hat{u}} f(3, -2) = -4\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} f(x, y) = xy^{2}\\P(3, -2)\\\vec{u} = (4, 3)\end{cases}$

Para calcularmos a derivada direcional da função a partir do ponto "P" na direção do vetor "u", devemos realizar os seguintes passos:

Calcular o vetor gradiente da função.

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y),\,f_{y}(x, y)\rangle\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = y^{2}\,\vec{i} + 2xy^{2 - 1}\,\vec{j} \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = y^{2}\,\vec{i} + 2xy\,\vec{j}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{\nabla} f(x, y) = (y^{2} , 2xy)\end{gathered}$}$

Obter o vetor gradiente da função aplicado ao ponto "P".

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla} f(3, -2) = ((-2)^{2}, 2\cdot3\cdot(-2)) = (4, -12)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{\nabla} f(3, -2) = (4,- 12)\end{gathered}$}$

Calcular o versor do vetor "u".

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \hat{u} = \frac{\vec{u}}{\parallel \vec{u}\parallel}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{(4, 3)}{\sqrt{4^{2} + 3^{2} }}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \bigg(\frac{4}{\sqrt{25}},\,\frac{3}{\sqrt{25}}\bigg)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:\hat{u}= \bigg(\frac{4}{5},\,\frac{3}{5}\bigg)\end{gathered}$}$

Obter a derivada direcional da função a partir do ponto "P" na direção do versor de "u".

Observe que a derivada direcional pode ser calculada a partir do produto escalar entre o vetor gradiente aplicado ao ponto "P" com o versor de "u", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} D_{\hat{v}} f(x, y) = \vec{\nabla} f(x, y)\cdot \hat{v}\end{gathered}$}$