Question

Dada a função f(x,y)=x^3+y^3+3x^2-18y^2+81y+5. Determine quais são os pontos críticos da função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela de f(x,y).

Answer 1

⇒ Através da matriz hessiana, concluímos que a função dada tem ponto máximo em (-2, 3), mínimo em (0, 9) e pontos de sela em (0, 3) e (-2, 9).

☞ Teste da Derivada Segunda:

$\Large{\text{ \boxed{H( x,y) =\begin{vmatrix}f_{xx} & f_{yx}\\f_{xy} & f_{yy}\end{vmatrix}} }}$

☞  $\large{H(x,y)}$ é o hessiano da função. E, a seguir,  $\large{(a,b)}$ são as coordenadas dos pontos críticos.

☞ A partir do determinante da matriz hessiana, conclui-se o seguinte:

${\text{ \boxed{\begin{cases}H( a,b) >0\Longrightarrow \begin{cases}ponto\ maximo & ,f_{xx}( a,b) < 0\\ponto\ minimo & ,f_{xx}( a,b) >0\end{cases}\\H( a,b) < 0\Longrightarrow ponto\ sela\\H( a,b) =0\Longrightarrow Nada\ se\ conclui\end{cases}} }}$

➜ Temos $\large{f(x,y)=x^3+y^3+3x^2-18y^2+81y+5$. Para os pontos críticos (estacionários), igualamos as Derivadas Parciais a zero, i.e,

$\large{\begin{matrix}f_{x} =3x^{2} +6x=0 & ...( i)\\f_{y} =3y^{2} -36y+81=0 & ...( ii)\end{matrix}}$

De (i), x = 0 ou x = -2. De (ii). y = 3 ou y = 9.

∴   Os pontos críticos são os pontos (0, 3), (0, 9), (-2, 3) e (-2, 9).

☞As Derivadas Parciais de Segunda Ordem são:

$\large{ \begin{array}{l}f_{xx} =6x+6\\\\f_{yy} =6y-36\\\\f_{xy} =f_{yx} =0\end{array}}$

∴ O Hessiano para função dada é:

${H( x,y) =\begin{vmatrix}6x+6 & 0\\0 & 6y-36\end{vmatrix} =( 6x+6)( 6y-36)}$

➜ Para o ponto (0, 3)

$\large{H( 0,3) =( 6\cdotp 0+6)( 6\cdotp 3-36) =-108}$

Como H(0, 3) < 0, o ponto (0, 3) é ponto sela.

➜ Para o ponto (0, 9)

$\large{H( 0,9) =( 6\cdotp 0+6)( 6\cdotp 9-36) =108}$

Como H(0, 9) > 0, esse ponto pode ser de máximo ou mínimo, a depender do sinal da Derivada Parcial de Segunda ordem em relação a x:

$\large{f_{xx}( 0,9) =6\cdotp 0+6=6}$

Como $\large{f_{xx} >0}$, o ponto (0, 9) é ponto mínimo.

➜ Para o ponto (-2, 3)

$\large{H( -2,3) =( 6\cdotp ( -2) +6)( 6\cdotp 3-36) =108}$

$f_{xx}( -2,3) =6\cdotp ( -2) +6=-6$

Como $\large{f_{xx}( -2,3) < 0}$, o ponto (-2, 3) é ponto máximo.

➜ Para o ponto (-2, 9)

$\large{H( -2,9) =( 6\cdotp ( -2) +6)( 6\cdotp 9-36) =-108}$

Como H(-2, 9) < 0, o ponto (-2, 9) é ponto sela

∴   A função dada tem ponto máximo em (-2, 3), mínimo em (0, 9) e pontos de sela em (0, 3) e (-2, 9)   ✍️

Leia mais sobre esse assunto em:

brainly.com.br/tarefa/46542900

brainly.com.br/tarefa/34172353