Question

dada a função f(x,y)=2x^2y+3y^2x,encontre o vetor gradiente no ponto P(1,1)

Answer 1

$\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\;,\; \dfrac{\partial f}{\partial y}\right)\\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial x} =4xy+3y^2\\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial y} =2x^2+6xy\\ \\ \nabla f(x,y)=\left(4xy+3y^2\;,\; 2x^2+6xy\right)\\ \\ \boxed{\nabla f(1,1)=\left(7\;,\; 8\right)}$

Answer 2

✅ Após desenvolver todos os cálculos, concluímos que o vetor gradiente da referida função aplicado ao ponto "P" é:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ \vec{\nabla}f(1, \,1) = (7,\,8)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                $\Large\begin{cases} f(x, y) = 2x^{2}y + 3y^{2}x\\P(1, 1)\end{cases}$

Para começar, devemos nos lembra que o vetor gradiente de uma determinada função possui como componentes as derivadas parciais de primeira ordem da referida função. Então, para resolver esta questão, devemos:

• Calcular a derivada parcial de primeira ordem da função em termos de "x".

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{x}(x, y) = 2\cdot2\cdot x^{2 - 1}\cdot y + 1\cdot3\cdot y^{2}\cdot x^{1 - 1}\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 4xy + 3y^{2}\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:f_{x}(x, y) = 4xy + 3y^{2}\end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial de primeira ordem da função em termos de "y".

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{y}(x, y) = 1\cdot2\cdot x^{2}\cdot y^{1 - 1} + 2\cdot3\cdot y^{2 - 1}\cdot x\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2x^{2} + 6yx\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:f_{y}(x, y) = 2x^{2} + 6xy\end{gathered}$

• Montar o vetor gradiente da função.

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla}f(x, y) = \langle f_{x}(x, y),f_{y}(x, y)\rangle\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$    

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (4xy + 3y^{2})\vec{i} + (2x^{2} + 6xy)\vec{j}\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (4xy + 3y^{2},\,2x^{2} + 6xy)\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\vec{\nabla}f(x, y)= (4xy + 3y^{2},\,2x^{2} + 6xy)\end{gathered}$                        

       

• Calcular o vetor gradiente da função aplicado ao ponto "P".

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla}f(1, 1) = (4\cdot1\cdot1 + 3\cdot1^{2},\,2\cdot1^{2} + 6\cdot1\cdot1)\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (4 + 3,\,2 + 6)\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (7,\,8)\end{gathered}$

✅ Portanto, o vetor gradiente aplicado ao ponto "P" é:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla}f(1, 1) = (7,\,8)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$