Question

Dada a função f(x)=(x³+√x).cossec(x), calcule a derivada correspondente.

Answer 1

Vamos relembrar algumas propriedades de derivação

1) Derivada de uma constante

$\fbox{\displaystyle [x^n]' = n.x^{n-1} }$

2) Derivada da função trigonométrica cossecante

$\fbox{\displaystyle [Cossec(u)]' = -Cossec(u).Cotg(u).u' }$

Sendo "u" uma função

3) Derivada do produto

$\fbox{\displaystyle f.g = f'.g + f.g' }$

Sendo f e g funções

Temos a seguinte função para derivar :

$\displaystyle f(x) = (x^3+\sqrt{x}).Cossec(x)$

note que é um produto, então vamos usar a regra do produto, ou seja :

$\fbox{\displaystyle f(x)' = (x^3+\sqrt{x})'.Cossec(x) + (x^3+\sqrt{x}).[Cossec(x)]' }$

vamos derivar aqui e depois só substituir :

$\displaystyle [x^3]' = 3.x^2$

$\displaystyle [\sqrt{x}]' = [x^{\displaystyle \frac{1}{2}}]' = \frac{1}{2}.x^{\displaystyle \frac{-1}{2}} \to \frac{1}{2.\sqrt{x}}$

$[Cossec(x)]' = -Cossec(x).Cotg(x)$

substituindo :

$\fbox{\displaystyle f(x)' = [3.x^2+\frac{1}{2\sqrt{x}}].Cossec(x) + (x^3+\sqrt{x}).[-Cossec(x).Cotg(x) ] }$

pode colocar o Cossec(x) em evidência, ficando assim :

$\fbox{\displaystyle f(x)' = Cossec(x)[3.x^2+\frac{1}{2\sqrt{x}} - (x^3+\sqrt{x}).Cotg(x) ] }$