Question

dada a função f(x) = x³ - 1. Determine f-1 e verifique que: (f°f-1)(x) = F-1°f)(x) = x

Answer 1

Olá,

É dada a função $f(x)=y$ tal que $y=x^3-1$. Queremos encontrar sua inversa  ($f^{-1}(x)$). Para isso, podemos "trocar" x e y de posição e isolar o novo y, que representará a função inversa. Veja:

$x=y^3-1\\\\ y^3=x+1\\\\ y=\sqrt[3]{x+1}\\\\ \boxed{f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+1}}$

Encontrada a inversa, podemos verificar as relações dadas:

$\bullet~(f\circ f^{-1})(x)=x:\\\\\\ (f\circ f^{-1})(x)=f(f^{-1}(x))=f(\sqrt[3]{x+1}})\\\\ (f\circ f^{-1})(x)=(\sqrt[3]{x+1}})^3-1\\\\ (f\circ f^{-1})(x)=x+1-1\\\\ \boxed{(f\circ f^{-1})(x)=x}$

$\bullet~(f^{-1}\circ f)(x)=x:\\\\\\ (f^{-1}\circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(x^3-1)\\\\ (f^{-1}\circ f)(x)=\sqrt[3]{(x^3-1)+1}\\\\ (f^{-1}\circ f)(x)=\sqrt[3]{x^3}\\\\ \boxed{(f^{-1}\circ f)(x)=x}$

Logo:

$\boxed{\boxed{(f\circ f^{-1})(x)=(f^{-1}\circ f)(x)=x}}$