Question

Dada a função f(x) = x².(x-3)^2  1) Determine a derivada primeira e descreva os intervalos de crescimento, decrescimento e ponto crítico (máximo ou mínimo). 

Answer 1

Resposta:

f(x)=x²*(x²-6x+9)

f(x)=x^4 -6x³ +9x²

f'(x)=4x³-18x²+18x  

4x³-18x²+18x=0

x *(4x²-18x+18) =0

Pontos críticos:

x'=0

4x²-18x+18 =0

2x²-9x+9=0

x''=3/2

x'''=3

f''(x)=12x²-36x+18

f''(0)=18 < 0 ponto de mínimo  

==>f(0)=x²*(x²-6x+9)=0  ..Ponto(0,0)

f''(3)=12*9-36*3+18 = 18 > 0 ponto de mínimo

==>f(3)=3²*(3²-6*3+9)=0 ..Ponto(3,0)

f''(3/2)=12 *(3/2)²-36*3/2+8=27 - 54 + 8 < 0 ponto de máximo  

==>f(3/2)=(3/2)² * ((3/2)² -6*3/2 +9)

=9/4 * (9/4 -9+9) =81/16  ..Ponto(3/2 , 81/16)

(-∞ , 0)  decrescimento

(0,3/2) crescimento

(3/2 , 3) decrescimento

(3 , ∞ ) crescimento