Dada a função f(x)=x² -5x+6, determine as raízes da função por soma e produto.
Soluções para a tarefa
Resposta:
x' = 2 e x" = 3
Explicação passo-a-passo:
Raiz da função
Lembre que a raiz de uma função é um valor de x tal que f(x) = 0.
Função do segundo grau
Segue o modelo:
- f(x) = ax² + bx + c
Onde: a, b e c são coeficientes. Note que a ≠ 0 é uma condição para a existência de uma função do primeiro grau.
Relações de Girard
Sendo x' e x" as raízes de uma função de segundo grau, podemos calcular:
Soma
x' + x" = -b/a
Produto
x' × x" = c/a
Note que a, b e c são os coeficientes das funções de segundo grau.
Problema
Temos a função:
- f(x) = x² - 5x + 6
Nossos coeficientes são:
a = 1
b = -5
c = 6
Soma
x' + x" = -b/a
x' + x" = - (-5)/1
- x' + x" = 5
Produto
x' × x" = c/a
x' × x" = 6/1
x' × x" = 6
Encontrar as raízes
Podemos simplesmente pensar:
Que números somamos dão 5 e multiplicados dão 6?
Logo, percebemos que x' = 2 e x" = 3
E isso é verdade, afinal:
x' + x" = 5
2 + 3 = 5
5 = 5
x' × x" = 6
2 × 3 = 6
6 = 6
Portanto, nossa resposta está correta.
como chegar nisso fazendo contas
Caso queira, podemos testar. Já aviso que cairemos em outra equação do segundo grau...
x' = 6/x"
Substituindo na equação da soma:
6/x" + x" = 5
multiplicando todo mundo por x":
6 + x"² - 5x" = 0
Organizando:
x"² -5x" + 6 = 0
∆ = 25 - 4 × 1 × 6
∆ = 25 - 24
∆ = 1
x" = (-b ± 1) / 2
x" = (5±1)/2
x"1 = 6/2 = 3
x"2 = 4/2 = 2
Aí a gente escolhe um valor para x" e deixa o outro valor para x'. Mas poderíamos só raciocinar, sem precisar dessa conta.